Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 116

rozdział 2. Geometria analityczna · temat „*2.8. Koło w układzie współrzędnych” · 2 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 3

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Każdą nierówność odczytujemy jako koło, jego dopełnienie albo obszar ograniczony parabolą.

a) Obie nierówności dotyczą odległości od początku układu. b) Pierwsza wyznacza koło o promieniu $3$ , a druga obszar pod parabolą $y=x^2-1$ . c) Pierwsza ma postać $(x-2)^2+y^2\le16$ , a druga opisuje punkty na zewnątrz koła jednostkowego.

Odpowiedź

a) Domknięty pierścień o środku $(0,0)$ i promieniach $2$ i $4$ ; b) część koła $x^2+y^2\le9$ leżąca na lub pod parabolą $y=x^2-1$ ; c) część koła o środku $(2,0)$ i promieniu $4$ leżąca na zewnątrz lub na okręgu jednostkowym o środku $(0,0)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 4

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Podstawienie $y=x^2$ daje $x^2+x^4<2$ , czyli $|x|<1$ .

b) Na okręgu $x^2+(y-3)^2=25$ zachodzi $x^2+y^2=6y+16$ . Warunek $x^2+y^2<16$ jest więc równoważny $y<0$ .

c) Punkty wspólne okręgu z parabolą spełniają $x^2+(x^2-3)^2=5$ . Dla $t=x^2$ dostajemy $(t-1)(t-4)=0$ , czyli $(-1,1),(1,1),(-2,4),(2,4)$ . Test punktu na każdym łuku wskazuje części leżące nad parabolą.

Odpowiedź

a) Fragment paraboli $y=x^2$ dla $-1<x<1$ ; b) dolny łuk okręgu między $(-4,0)$ i $(4,0)$ , bez końców; c) górny łuk od $(-2,4)$ do $(2,4)$ oraz środkowy dolny łuk od $(-1,1)$ do $(1,1)$ , wszystkie punkty końcowe wyłączone.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem