MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 114

W obu równaniach każdego układu występuje ta sama suma $x^2+y^2$, dlatego najpierw ją porównujemy.

a) $9+8y=-15$, więc $(x,y)=(0,-3)$. b) $-4x=2x+3$, stąd $x=-\frac12$ i $y=\pm\frac{\sqrt7}{2}$. c) $16-4x=0$, więc $(x,y)=(4,0)$. d) $6x=8y$; po podstawieniu otrzymujemy $(0,0)$ lub $\left(\frac{96}{25},\frac{72}{25}\right)$. e) $25+8y=-7$, więc $y=-4$ i $x=\pm3$. f) Odjęcie równań daje $y=1$, a następnie $x=\pm1$.

a) Po odjęciu równań okręgów dostajemy $x=0$. Wspólne punkty to $(0,-3)$ i $(0,3)$, więc cięciwa ma długość $6$.

b) Z pierwszego równania $x^2+y^2=10$, a z drugiego wynika $x+y=4$. Punkty przecięcia to $(1,3)$ i $(3,1)$, więc długość cięciwy wynosi $2\sqrt2$.

Przekątne czworokąta $S_1AS_2B$ są prostopadłe, zatem jego pole to połowa iloczynu odległości środków i długości wspólnej cięciwy.

a) $|S_1S_2|=4\sqrt2$, a punkty wspólne $(1,3)$ i $(3,1)$ wyznaczają cięciwę długości $2\sqrt2$. Stąd $P=8$.

b) Środki to $(0,-2)$ i $(5,3)$, więc $|S_1S_2|=5\sqrt2$. Oś potęg $x+y+1=0$ daje punkty $(-1,0)$ i $(2,-3)$, czyli cięciwę długości $3\sqrt2$. Stąd $P=15$.

Niech $(a,b)$ będzie środkiem szukanego okręgu. Z warunków $(3-a)^2+(1-b)^2=25,\qquad (2-a)^2+(4-b)^2=25$ po odjęciu otrzymujemy $a-3b=-5$. Rozwiązanie tego równania wraz z jednym z równań odległości daje środki $(-2,1)$ oraz $(7,4)$.

Środek każdego okręgu leży na symetralnej $AB$ i jest oddalony od obu końców o $r$. Rozwiązanie tych dwóch warunków daje:

a) $(2,1)$ lub $(3,4)$; b) $(1,0)$ lub $(-1,2)$; c) $\left(\frac{1+\sqrt{17}}2,\frac{1-\sqrt{17}}2\right)$ lub $\left(\frac{1-\sqrt{17}}2,\frac{1+\sqrt{17}}2\right)$; d) $(2,4)$ lub $(3,-1)$.

W każdym podpunkcie porównujemy promień okręgu z odległością jego środka od prostej. Otrzymujemy kolejno warunki graniczne $|m|=2$, $|m-1|=2$, $|m|=2$, $|m-2|=2$, $|m|=3$ oraz $m=1$. Po stronie, po której odległość jest mniejsza od promienia, występują dwa punkty przecięcia; przy równości jeden.