MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 113

W każdym podpunkcie podstawiamy równanie prostej do równania okręgu.

a) $y=x+2$, więc $x^2+(x+2)^2=10$ i $x\in\{1,-3\}$. b) $x^2+(4-x)^2=16$, zatem $x\in\{0,4\}$. c) $x^2+(x-5)^2=25$, zatem $x\in\{0,5\}$. d) $x=2y+3$, więc $5y^2=5$ i $y=\pm1$. e) Ponieważ $y=|x|$, mamy $2x^2=2$. f) Ponieważ $y=|x+2|$, mamy $x^2+(x+2)^2=10$.

a) W trójkącie prostokątnym wpisanym w okrąg przeciwprostokątna jest średnicą. Dla wierzchołka kąta prostego $(2,4)$ odpowiednie końce prostopadłej średnicy to $(4,-2)$ i $(-4,2)$.

b) Przecięcie prostej $y=\frac12x+3$ z okręgiem daje punkty podstawy $(-6,0)$ i $(2,4)$. Ich środek jest środkiem okręgu $(-2,2)$. Wierzchołek leży na prostopadłej średnicy, zatem może być punktem $(0,-2)$ albo $(-4,6)$.

a) Przecinamy prostą $y=x+4$ z okręgiem. Dostajemy punkty $(-3,1)$ i $(1,5)$. Środek okręgu $(3,-1)$ jest też środkiem prostokąta, więc punkty przeciwległe to odpowiednio $(9,-3)$ i $(5,-7)$.

b) Odległość środka kwadratu $A=(3,5)$ od prostej $2x-y-6=0$ wynosi $\sqrt5$. Jest to połowa boku, więc promień okręgu opisanego wynosi $\sqrt{10}$. Przecięcie prostej z tym okręgiem daje $(4,2)$ i $(6,6)$; punkty przeciwległe względem $A$ to $(2,8)$ i $(0,4)$.

Równanie okręgu zapisujemy jako $(x-2)^2+(y-1)^2=13.$ Prosta $3x+2y-8=0$ przechodzi przez środek $(2,1)$. Jej wektor kierunkowy $[2,-3]$ ma długość $\sqrt{13}$, więc końce tej przekątnej to $(4,-2)$ i $(0,4)$. Wektor prostopadły $[3,2]$ wyznacza pozostałe wierzchołki $(5,3)$ i $(-1,-1)$. Przekątna ma długość $2\sqrt{13}$, zatem

$$$$

Dla okręgu o promieniu $r$ i prostej oddalonej od środka o $d$ długość cięciwy wynosi $2\sqrt{r^2-d^2}$.

a) $S=(2,1)$, $r=1$, $d=\frac1{\sqrt2}$. b) $S=(4,-1)$, $r=\sqrt{10}$, $d=\sqrt5$. c) $S=(-2,1)$, $r=\sqrt{13}$, $d=\frac1{\sqrt2}$.

Porównujemy promień każdego okręgu z odległością jego środka od prostej.

a) Odległość początku układu od $y=x+m$ wynosi $\frac{|m|}{\sqrt2}$, a promień $2$. b) Okrąg ma środek $(-1,-2)$ i promień $\sqrt5$. Jego odległość od $2x+y-m=0$ to $\frac{|m+4|}{\sqrt5}$. c) Odległość początku układu od $2x-y+1=0$ wynosi $\frac1{\sqrt5}$, a kwadrat promienia to $m$. d) Okrąg ma środek $(3,2)$ i promień $\sqrt{m^2+13}$, natomiast jego odległość od prostej wynosi $\sqrt{10}$. Promień jest zawsze większy.