MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 95

Każdy iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się co najmniej jeden czynnik. Po pełnym rozkładzie:

a) $(2x+1)(x+3)(x-2)$; b) $2(x+1)^2(x-2)$; c) $(5-x)(x-2)(x-5)$; d) $(x+3)(x-1)^4$; e) $(x-3)(x+3)^3$; f) $(x+2)(x-3)(x^2+x-1)$; g) $x^2(x+5)(x+2)^2(x-2)^3$; h) $x^3(x+4)(x-2)(x-3)^2$.

Z wykładników odczytujemy krotności.

Wystarczy rozłożyć lewe strony i sprawdzić, że wszystkie czynniki liniowe występują w pierwszej potędze, a ewentualny czynnik kwadratowy ma dwa różne pierwiastki albo nie ma wspólnego z pozostałym czynnikiem:

a) $(x+2)(x-3)(x-4)$;

b) $(3x+1)(x-2)(x+2)$;

c) $(x+2)(2x^2+4x+1)$ — wyróżnik trójmianu wynosi 8, a $-2$ nie jest jego pierwiastkiem;

d) $(x+5)(x^2+x-3)$ — wyróżnik trójmianu wynosi 13, a $-5$ nie jest jego pierwiastkiem.

W każdym przypadku wszystkie rzeczywiste pierwiastki są więc jednokrotne.

Wyłączamy wspólną potęgę $x$ i stosujemy wzory skróconego mnożenia:

a) $x(x-4)(x+1)$; b) $x^3(x-3)^2$; c) $(x-1)^2(x+1)^2$; d) $(x^2-2)^2$; e) $x^2(x^2+4x+5)$; f) $x^3(x+2)^2$; g) $x(x+4)(x-1)$; h) $x^2(3x^2-2x+1)$; i) $x^3(x-2)(x+2)(x^2+4)$.

W podpunktach e), h), i) pozostałe wskazane czynniki kwadratowe nie dają dodatkowych pierwiastków rzeczywistych.

Skoro $x_0$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, dzielimy $w$ przez $(x-x_0)^2$.

a) $w(x)=(x-2)^2(3x+1)$, więc pozostaje $x=-\frac13$.

b) $w(x)=(x+1)^2(x^2-3)$, więc pozostają $x=\pm\sqrt3$.

c) $w(x)=-12(x-\frac12)^2(x-\frac13)$, więc pozostaje $x=\frac13$.

Każda z liczb $-3,2,4$ musi wystąpić jako zero odpowiedniego czynnika liniowego. Stopień zwiększamy przez zwiększanie krotności, nie wprowadzając nowych zer. Przykładowo:

a) $(x+3)(x-2)(x-4)$;

b) $(x+3)^2(x-2)(x-4)$;

c) $(x+3)^2(x-2)^2(x-4)^2$.

Każdy niezerowy stały mnożnik dawałby również poprawny przykład.

Czynnik $(x-3)^2$ zapewnia jedyny pierwiastek 3 o krotności 2. Pozostałe czynniki wybieramy dodatnie dla każdego $x$, a stałą dobieramy tak, aby wyraz wolny wynosił 2:

a) $\frac29(x-3)^2$;

b) $\frac29(x-3)^2(x^2+1)$;

c) $\frac1{18}(x-3)^2(x^2+1)(x^2+4)$.

W każdym przypadku podstawienie $x=0$ daje 2.

a) Czynnik $x+3$ daje już jeden czynnik zerujący się dla $x=-3$. Krotność będzie równa 2, gdy także $x^2+ax+6$ zeruje się w $-3$: $9-3a+6=0,$ stąd $a=5$. Drugi czynnik ma wtedy w $-3$ pierwiastek jednokrotny.

b) $2x^2-7x-4=(2x+1)(x-4)$, więc 4 jest już pierwiastkiem jednokrotnym. Musi zachodzić $4^2-4a^2=0,$ czyli $a^2=4$ i $a=\pm2$.

Pierwiastek dwukrotny musi spełniać jednocześnie $w(x_0)=0$ i $w'(x_0)=0$.

a) Dla $x_0=-1$ pierwsza równość zachodzi dla każdego $a$. Pochodna $w'(x)=24x^3+24x^2-16x+a$ daje $w'(-1)=16+a$, więc $a=-16$. Kontrola drugiej pochodnej potwierdza, że krotność jest dokładnie 2.

b) Warunek $w(2)=0$ daje $a=-1$. Wtedy jednak $w'(2)=1+5a=-4\ne0$. Nie istnieje zatem wartość spełniająca oba warunki.