MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 94

Szukamy pierwiastka całkowitego, dzielimy wielomian i kontynuujemy rozkład. Otrzymujemy:

a) $x^3+5x^2+7x+3=(x+3)(x+1)^2$;

b) $x^3+x^2-8x-12=(x+2)^2(x-3)$;

c) $x^4-6x^3+9x^2-4x=x(x-4)(x-1)^2$;

d) $x^4-6x^3+13x^2-12x+4=(x-1)^2(x-2)^2$.

Krotność każdego pierwiastka jest wykładnikiem odpowiedniego czynnika.

Suma krotności wszystkich pierwiastków wielomianu nie może przekroczyć jego stopnia.

a) Wielomian ma stopień 3, a trzy podane pierwiastki jednokrotne już wyczerpują tę liczbę. Innego pierwiastka mieć nie może.

b) Pierwiastek 3 ma krotność 2, a wielomian ma stopień 3, więc pozostaje miejsce na jeszcze jeden pierwiastek. Istotnie $2x^3-11x^2+12x+9=(x-3)^2(2x+1),$ więc dodatkowym pierwiastkiem jest $-\frac12$.