MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 92

a) Ewentualne pierwiastki całkowite wielomianu $x^3+x-2$ należą do $\{-2,-1,1,2\}$. Sprawdzenie daje $x=1$, a następnie $x^3+x-2=(x-1)(x^2+x+2).$ Ponieważ wyróżnik trójmianu wynosi $-7$, innych pierwiastków rzeczywistych nie ma.

b) We wzorze Cardano przyjmujemy $a=1$, $b=2$:

-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{28}{27}}-1}.$$ Otrzymana liczba jest tym samym jedynym pierwiastkiem $x=1$.

Stosujemy wzór do postaci $x^3+ax=b$.

a) Tu $a=-2$, $b=21$, więc

-\sqrt[3]{-\frac{21}{2}+\sqrt{\left(\frac{21}{2}\right)^2-\frac8{27}}}=3.$$ Kontrola: $x^3-2x-21=(x-3)(x^2+3x+7)$, a drugi czynnik nie ma pierwiastków rzeczywistych. b) Dla $a=6$, $b=20$ otrzymujemy $$x=\sqrt[3]{10+6\sqrt3}-\sqrt[3]{-10+6\sqrt3}.$$ Ponieważ $(1+\sqrt3)^3=10+6\sqrt3$ i $(\sqrt3-1)^3=6\sqrt3-10$, mamy $x=(1+\sqrt3)-(\sqrt3-1)=2$.

a) Podstawiamy $x=y+2$. Równanie przechodzi w $y^3+6y+2=0\iff y^3+6y=-2.$ Wzór Cardano daje $y=\sqrt[3]2-\sqrt[3]4$, zatem $x=2+\sqrt[3]2-\sqrt[3]4.$

b) W pierwszym równaniu podstawienie $x=y-1$, a w drugim $x=y+1$ prowadzi w obu przypadkach do tego samego równania $y^3+6y+2=0.$ Jeżeli $y_0$ jest jego rzeczywistym pierwiastkiem, to $x_1=y_0-1$ oraz $x_2=y_0+1$. Wobec tego $x_2-x_1=2$.