MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 91

Usuwamy mianowniki, przenosimy wszystko na jedną stronę i rozkładamy wielomiany na czynniki.

a) Po pomnożeniu przez 2: $2x^3-3x^2-x-2=(x-2)(2x^2+x+1).$ Drugi czynnik ma wyróżnik $-7$, więc nie ma pierwiastków rzeczywistych.

b) Po pomnożeniu przez 15: $x^3+x^2-5x+3=(x-1)^2(x+3).$

c) Po pomnożeniu przez 4: $x^4+2x^3-x^2-4x-2=(x+1)^2(x^2-2).$

d) Po rozwinięciu prawej strony: $2x^4-11x^3+12x^2+9x=x(x-3)^2(2x+1).$

Szerokość prostokąta wynosi $2t$, a jego wysokość jest równa $6-t^2$. Stąd $P(t)=2t(6-t^2)=-2t^3+12t.$ Prostokąt ma dodatnie wymiary, zatem $t>0$ i $6-t^2>0$, czyli $t\in(0,\sqrt6)$.

Dla pola 8 rozwiązujemy $-2t^3+12t=8\iff t^3-6t+4=0.$ Rozkład $t^3-6t+4=(t-2)(t^2+2t-2)$ daje $t=2$ albo $t=-1\pm\sqrt3$. Z dziedziny pozostają $2$ oraz $\sqrt3-1$.

Niech pionowe boki prostokąta leżą na prostych $x=-t$ i $x=t$, gdzie $t>0$. Wtedy szerokość wynosi $2t$, a wysokość $\frac12t^2+2$. Warunek pola ma postać

\quad\text{czyli}\quad t^3+4t-39=0.$$ Liczba $t=3$ jest pierwiastkiem, a $$t^3+4t-39=(t-3)(t^2+3t+13).$$ Drugi czynnik nie ma pierwiastków rzeczywistych. Dla $t=3$ wysokość to $\frac12\cdot9+2=\frac{13}{2}$.

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z $C$ trafia w środek $AB$. Zatem, jeśli $B=(t,0)$, to $C=\left(\frac t2,\frac{t^2}{4}+1\right).$ Z warunku pola:

\iff t^3+4t-80=0.$$ Ponieważ $$t^3+4t-80=(t-4)(t^2+4t+20),$$ a drugi czynnik nie ma pierwiastków rzeczywistych, otrzymujemy $t=4$. Wtedy $C=(2,5)$.

Oznaczmy $x_0=t>0$. Przyprostokątna $AB$ ma długość $2t$. Druga przyprostokątna jest pionowa i ma długość $\frac12t^2+2$, bo punkt $C$ ma tę samą odciętą co jeden z końców $AB$. Z pola:

\iff t^3+4t-16=0.$$ Mamy $(t-2)(t^2+2t+8)=0$, więc $t=2$. Przyprostokątne mają po 4, a przeciwprostokątna $4\sqrt2$.

Niech $a=2x-3$ będzie bokiem podstawy, a $h=x-\frac12$ wysokością. Warunki geometryczne dają $x>\frac32$. Pole sześciokąta foremnego to $\frac{3\sqrt3}{2}a^2$, więc

=\frac{9\sqrt3}{4}.$$ Po podstawieniu $y=2x-3>0$ mamy $x-\frac12=\frac{y+2}{2}$ i $y^2(y+2)=3$. Jedynym dodatnim rozwiązaniem jest $y=1$, czyli $x=2$. Zatem $a=1$, $h=\frac32$. Pole całkowite: $$P_c=2\cdot\frac{3\sqrt3}{2}+6\cdot1\cdot\frac32 =3\sqrt3+9.$$

Skan pokazuje prostokątną ramę o wymiarach zewnętrznych $8\times6$, wysokości $x$ i szerokości każdej belki $x$. Otwór ma więc wymiary $(8-2x)\times(6-2x)$. Objętość ramy: $V(x)=x\bigl(48-(8-2x)(6-2x)\bigr)=4x^2(7-x),$ przy $0<x<3$.

a) $4x^2(7-x)=24$, zatem $x^3-7x^2+6=(x-1)(x^2-6x-6)=0$. Jedynym rozwiązaniem w dziedzinie jest $x=1$.

b) Dla $V=80$ rozwiązaniem w dziedzinie jest $x=2$. Dwie poziome powierzchnie ramy mają razem pole $56x-8x^2$. Zewnętrzne i wewnętrzne ściany pionowe mają łącznie $28x+(28-8x)x=56x-8x^2$. Stąd $P_c=112x-16x^2,$ więc $P_c(2)=160$.