MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 90

Znajdujemy pierwiastek wymierny, dzielimy i rozwiązujemy pozostały trójmian:

a) $(x-1)^2(x+5)$; b) $(x+2)(x+1)(x-3)$; c) $(x+3)(x+1)(2x+1)$; d) $(x-1)(2x^2-x-4)$; e) $(x+4)(3x^2-x+1)$, przy czym $\Delta=-11$; f) $(x+1)(3x+1)(2x-1)$; g) $(x-3)(x^2-x+2)$, przy czym $\Delta=-7$; h) $-3(x-3)(x^2-2x+\frac23)$.

Po znalezieniu pierwiastków wymiernych otrzymujemy rozkłady:

a) $x(2x+1)(x-1)(x-3)$; b) $(x-1)^2(x^2+2x+4)$; c) $(x-1)(x-2)(2x^2+1)$; d) $(x-1)(x+1)^2(3x+2)$; e) $(x+2)(x-3)(x^2+3x+1)$; f) $(x+1)^2(2x+1)^2$.

Czynniki o ujemnym wyróżniku nie wnoszą dodatkowych zer rzeczywistych.

Przenosimy wszystko na lewą stronę, znajdujemy pierwiastek wymierny i rozkładamy:

a) $(2x-1)(x^2+x+1)=0$; b) $(3x+1)(x^2+2x-1)=0$; c) $(3x-2)(x^2+x+2)=0$; d) $x(2x+1)(x^2+2x-5)=0$.

Dla nieskracalnego pierwiastka $\frac pq$ licznik dzieli wyraz wolny, a mianownik współczynnik wiodący. Ponieważ wyraz wolny jest niezerowy, $0$ nie może być pierwiastkiem.

a) Możliwe są tylko $\pm1,\pm\frac12,\pm\frac14$. b) Możliwe są $\pm2,\pm1,\pm\frac12,\pm\frac14$. c) Możliwe są $\pm3,\pm\frac32,\pm1,\pm\frac12$.

Sprawdzamy kandydatów z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych i dzielimy:

a) $(2x+1)(x^2+x+1)=0$; b) $(2x-1)(x^2+x+2)=0$; c) $(2x-1)(x^2+5x+3)=0$; d) $(3x+2)(3x+1)(x^2+1)=0$.

Pierwsze dwa pozostałe trójmiany oraz $x^2+1$ nie mają rzeczywistych zer.