MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 87

Dzielimy przez czynnik wyznaczony przez podany pierwiastek:

a) $w:(x-1)=x^2-5x-14=(x-7)(x+2)$; b) $w:(x+2)=2x^2+5x+3=(2x+3)(x+1)$; c) $w:(x+5)=x^2-3x+4$ i $\Delta=-7<0$, zatem nie ma dalszych pierwiastków rzeczywistych.

Sprawdzamy liczby $-1,1,2$, a po znalezieniu pierwiastka dzielimy przez odpowiedni dwumian:

a) pierwiastkiem jest $2$, a iloraz to $x^2+x-3$; b) pierwiastkiem jest $-1$, a dalszy rozkład daje $(x+3)(2x-1)$; c) pierwiastkiem jest $1$, a iloraz to $2x^2+x-4$; d) pierwiastkiem jest $2$, a dalszy rozkład daje $-(x+2)(x-\frac12)$.

Podzielność przez $x-a$ jest równoważna warunkowi $w(a)=0$.

a) $w(-3)=21-3m=0$, więc $m=7$. b) $w(2)=4m^2-20=0$, więc $m=\pm\sqrt5$. c) $w(-1)=-m^2+m+6=0$, czyli $(m-3)(m+2)=0$.

Jeżeli $u$ jest iloczynem różnych czynników liniowych, sprawdzamy zerowanie $w$ w każdym pierwiastku $u$.

a) $u$ ma pierwiastki $1,-3$ i $w(1)=w(-3)=0$. b) $u=(2x-1)(x+1)$; co najmniej jedna z wartości $w(\frac12),w(-1)$ jest niezerowa. c) pierwiastki $u$ to $-1,-2,2$ i wszystkie trzy zerują $w$.

Reszta z dzielenia przez trójmian kwadratowy ma postać $R(x)=ax+b$.

a) $R(3)=7$ i $R(-2)=-3$, więc $3a+b=7$, $-2a+b=-3$. Stąd $a=2$, $b=1$.

b) Dzielnik ma pierwiastki $1,2$. Z $R(1)=-1$, $R(2)=3$ dostajemy $a=4$, $b=-5$.

Wyznaczamy resztę przez wartości w pierwiastkach dzielnika.

a) Dla $R=ax+b$: $R(-1)=w(-1)=43$, $R(2)=w(2)=73$, więc $R=10x+53$. b) Dla pierwiastków $\pm1$ otrzymujemy $R(1)=0$, $R(-1)=-2$, czyli $R=x-1$. c) Reszta ma postać $ax^2+bx+c$. Z wartości dla $1,-1,-2$ otrzymujemy $a=-7$, $b=0$, $c=7$.