MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 83

Rozwijamy każdy iloczyn i porównujemy wszystkie współczynniki z $h$.

a) $(x-m)(x+7)=x^2+(7-m)x-7m$, stąd $m=3$. b) $(\frac12mx-2)(x+2m+1)$ ma współczynnik przy $x^2$ równy $\frac m2$; wartość $m=2$ spełnia też dwa pozostałe równania. c) Współczynnik przy $x^2$ wymusza $m=2$, ale wyraz wolny wynosi wtedy $-4$, a nie $1$, więc rozwiązania nie ma.

Zastępujemy dzielenie równością $W(x)=P(x)(x-m)$ i porównujemy współczynniki.

a) $(x^3+x^2+x+1)(x-m)$ wymaga $1-m=-1$ i $-m=-2$, więc $m=2$. b) $(x^3+2x^2+2x-1)(x-m)$ odtwarza dany wielomian dla $m=2$. c) $(x^2+2x-15)(x-m)$ ma współczynnik $2-m=-2$, więc $m=4$; pozostałe współczynniki również wtedy się zgadzają.

Mnożymy prawą stronę i porównujemy współczynniki.

a) $(x^2+ax+5)(x-3)=x^3+(a-3)x^2+(5-3a)x-15$, więc $a=2$. b) $(x^2+ax-5)(x+4)$ daje $a+4=1$ i $4a-5=-17$, czyli $a=-3$. c) $(2x^2+ax+9)(x+2)$ ma współczynniki $a+4=-4$ i $2a+9=-7$, zatem $a=-8$.

Warunek $uv-w\equiv0$ oznacza $uv=w$.

a) $(-x+4)(2x^2+ax+b)=-2x^3+(8-a)x^2+(4a-b)x+4b$. Porównanie daje $a=2$ i $b=3$.

b) $(2ax+b)(x^2-x)=2ax^3+(b-2a)x^2-bx$. Z równań $2a=1$ i $-b=5$ otrzymujemy $a=\frac12$, $b=-5$; współczynnik przy $x^2$ także się zgadza.

Rozwijamy iloczyn po prawej i porównujemy współczynniki tych samych potęg.

a) Układ $a+5=5$, $b-5a=-1$, $3-5b=8$ daje $a=0$, $b=-1$. b) Warunki $a-2=-1$, $b-a=2$, $3-b=0$ dają $a=1$, $b=3$. c) Warunki $a+1=-3$, $b+\frac a2=0$, $6+\frac b2=7$ dają $a=-4$, $b=2$.

Szukamy rozkładu $(x^2+px+q)(x^2+rx+s)$ z całkowitymi współczynnikami. Wyraz wolny ogranicza pary $(q,s)$, a porównanie współczynników przy $x^3,x^2,x$ wyznacza $p,r$. Wymnożenie potwierdza: