MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 71
rozdział 2. Wielomiany · temat „2.5. Rozkład wielomianu na czynniki (1)” · 5 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wyłączamy wspólną potęgę x i rozkładamy różnicę kwadratów.
a) 4x(x-\frac16)(x+\frac16); b) 16x^3(x-\frac12)(x+\frac12); c) 2x^2(x-\sqrt3)(x+\sqrt3).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
6 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wyłączamy wskazany czynnik. Trójmian rozkładamy, gdy \Delta\ge0; w a wyróżnik jest ujemny.
a) x^3(x^2-2x+5); b) x^2(x-3)(x+2); c) 2x^4(x-1)^2; d) 6x^2(x-\frac12)(x+1); e) 6x(x-\frac32)(x-1); f) \frac34x^3(x+\frac13)(x-2).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
12 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Rozkładamy każdy czynnik kwadratowy lub wyłączamy wspólną potęgę x; nierozkładalne nad \mathbb R trójmiany pozostawiamy.
a) x^2(x-2)(x-3); b) 2x(x+\frac12)(x-5); c) -6x^3(x-\frac13)(x-\frac12); d) x^2(x^2+3x+4); e) x(x^2+\sqrt2x+1); f) -\frac13x^3(x-9)(x+1); g) (x-3)(x-2)(x-1)(x+1); h) (x-4)(x+1)^2(x+4); i) 4(x-\frac12)(x+\frac12)(x-3)^2; j) x^2(x-3)(x-1)(x+2)(x+5); k) x^5(x-2)(x+3)(x^2+2x+3); l) x(x-2)(x-1)(x+2-\sqrt3)(x+2+\sqrt3).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wyłączamy n i rozkładamy trójmian 2n^2+3n+1=(n+1)(2n+1). Potem podstawiamy n=4,5 po obu stronach wzoru.
a) S(n)=\frac16n(n+1)(2n+1). b) Dla n=4 obie strony dają 30, a dla n=5 — 55.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wyłączamy \frac14n^2 i rozpoznajemy n^2+2n+1=(n+1)^2. Dla n=10 stosujemy otrzymany wzór.
a) S(n)=\frac14n^2(n+1)^2; b) suma wynosi \frac14\cdot10^2\cdot11^2=3025.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem