MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 67
rozdział 2. Wielomiany · temat „2.4. Wzory skróconego mnożenia” · 8 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 6
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Łączymy czynniki za pomocą wzorów na sumę i różnicę sześcianów, a potem wykonujemy pozostałe mnożenie.
a) x^4+5x^3+125x+625; b) x^4-5x^3-125x+625; c) 81x^4-27x^3-3x+1; d) x^6-1.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 7
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Najpierw przekształcamy każdy iloczyn wzorem na sumę lub różnicę sześcianów; po podstawieniu zostają proste potęgi x^3.
a) 73; b) -1; c) 2; d) 8.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 8
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Lewe strony upraszczamy wzorami na sumę lub różnicę sześcianów i rozwiązujemy równania typu x^3=c.
a) x=27; b) x=-8; c) x=\frac32; d) x=-2\sqrt[3]{17}.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 9
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W liczniku rozpoznajemy różnicę odpowiednich potęg i skracamy wspólne czynniki, zachowując warunki dziedziny.
a) a^2-1; b) a+1 (dla a\ne1).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 10
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
W a kolejno rozkładamy różnice kwadratów. W b stosujemy dwukrotnie różnicę sześcianów: najpierw dla a^9-b^9, potem dla a^6-b^6.
Obie równości są prawdziwe po rozwinięciu wskazanych rozkładów.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu
Zadanie 11
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Rozkładamy na sumę lub różnicę sześcianów kwadratów, a czynniki czwartego stopnia ponownie na kwadraty nad liczbami rzeczywistymi.
a) (a-b)(a+b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2); b) (a^2+b^2)(a^2+\sqrt3ab+b^2)(a^2-\sqrt3ab+b^2).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 12
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Korzystamy z tożsamości a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+\cdots+1). Dla a=4 pierwszy czynnik wynosi 3, a dla a=7 wynosi 6.
Dla każdego n\in\mathbb N liczba 4^n-1 jest podzielna przez 3, a 7^n-1 przez 6.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu
Zadanie 13
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Mnożymy licznik i mianownik przez czynnik dopełniający z wzoru na sumę lub różnicę sześcianów, tak aby mianownik stał się liczbą wymierną.
a) \frac{\sqrt[3]4-\sqrt[3]2+1}{3}; b) \sqrt[3]9+2\sqrt[3]3+4; c) 2(\sqrt[3]9-\sqrt[3]6+\sqrt[3]4); d) 9+6\sqrt[3]2+4\sqrt[3]4.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem