MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 58
rozdział 2. Wielomiany · temat „2.2. Dodawanie i odejmowanie wielomianów” · 7 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Dodajemy i odejmujemy współczynniki przy jednakowych potęgach.
a) f+g=x^6+x^3+x^2-2x+6, f-g=\frac12x^6-4x^4-x^3+\frac32x^2+2x+2; b) f+g=-3x^5+x^2-x+2, f-g=-2x^6+3x^5-5x^2+9x+2; c) f+g=x^5+3x^4+x-3, f-g=4x^7-x^5+3x^4+7x-7.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Najpierw tworzymy wskazane kombinacje liniowe. Stopień odczytujemy z najwyższej potęgi, a sumę współczynników jako wartość dla x=1.
a) w=2x^5+6x^4, stopień 5, suma 8; u=-\frac13x^5-x^4, stopień 5, suma -\frac43. b) w=12x^2-18x, stopień 2, suma -6; u=-2x^2+3x, stopień 2, suma 1.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Podstawiamy znane wartości do zależności f=u+2w i g=2u-3w; w c rozwiązujemy układ dwóch równań.
a) f(5)=3,\ g(5)=20; b) f(-3)=-16,\ g(-3)=10; c) u(-\frac12)=-\frac17,\ w(-\frac12)=-\frac{31}{7}.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Gdy stopnie są różne, najwyższy wyraz nie może się skrócić. Przy równych stopniach może nastąpić redukcja współczynników wiodących.
a) \operatorname{st}(p+q)=5; b) \operatorname{st}(p+q)\le5 albo suma jest zerowa; c) dla m\ne n stopień to \max(m,n), a dla m=n jest co najwyżej n albo suma jest zerowa.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Sumujemy wielomiany i sprawdzamy wartości parametru zerujące kolejne współczynniki wiodące.
a) stopień 6 dla a\ne0, 4 dla a=0; b) stopień 5 dla a\ne-6, 1 dla a=-6; c) stopień 4 dla a\notin\{-1,1\}, 3 dla a=1, 1 dla a=-1.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 6
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Po zsumowaniu analizujemy kolejno współczynniki od najwyższej potęgi.
a) stopień 5 dla b\ne0; dla b=0 stopień 3, chyba że a=-7, wtedy 2. b) stopień 7 dla a\ne-3; dla a=-3 stopień 2, chyba że b=3, wtedy 1. c) stopień 4 dla a\ne b; 3 dla a=b\ne-4; 1 dla a=b=-4.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 7
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Ze skanu odczytujemy wierzchołek (-1,1) i miejsca zerowe -2,0, zatem h(x)=-x(x+2)=-x^2-2x. Stąd p=-2,q=-1, a k=2h+4g=2x^2-4x.
a) p=-2,\ q=-1. b) k(x)=2x^2-4x=2(x-1)^2-2.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem