MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 54
rozdział 2. Wielomiany · temat „2.1. Stopień i współczynniki wielomianu” · 9 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Porządkujemy wielomiany i odczytujemy współczynniki. Ich suma jest również wartością wielomianu dla x=1.
a) v(x)=x^3-6x^2+4, współczynniki 1,-6,0,4; b) w(x)=-\frac16x^5+\frac14x^4-\frac13x^3+\frac12x-1, współczynniki -\frac16,\frac14,-\frac13,0,\frac12,-1, suma -\frac34.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Bezpośrednio podstawiamy cztery wartości argumentu do każdego wielomianu.
a) -3,-\frac{27}{8},-19,-69; b) 2,-\frac12,32,80; c) -4,-\frac{27}{8},-34,-76; d) -10,-\frac{183}{16},-58,-214 (kolejno dla 0,\frac12,-2,-3).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Ponieważ punkty należą do wykresu, liczymy w(1),w(-1),w(2),w(3).
a=1,\ b=-2,\ c=-8,\ d=4.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Dla każdej odciętej obliczamy u(x) i porównujemy z podaną rzędną.
a) należy tylko Q; b) należy tylko P.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Każdy warunek wartości daje równanie liniowe względem a.
a) a=1; b) a=-72; c) a=4; d) a=-1.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 6
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Podstawienie dwóch argumentów daje w każdym podpunkcie układ dwóch równań liniowych w a,b.
a) a=\frac{20}{3},\ b=\frac{23}{3}; b) a=3,\ b=1.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 7
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Stopień zmienia się wtedy, gdy zeruje się współczynnik przy aktualnie najwyższej potędze; sprawdzamy potem kolejny współczynnik.
a) stopień 5 dla m\notin\{-2,2\}, 3 dla m=2, 1 dla m=-2; b) stopień 6 dla m\notin\{-4,0\}, 4 dla m=-4, 2 dla m=0.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 8
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech a_0=t. Wtedy współczynniki to t,2t,4t,8t,16t, a z 31t=1 mamy t=\frac1{31}.
w(x)=\frac{16}{31}x^4+\frac8{31}x^3+\frac4{31}x^2+\frac2{31}x+\frac1{31}.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 9
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Po podstawieniu x=1 wszystkie potęgi są równe 1, więc w(1) jest sumą współczynników.
a) w(1)=0; b) w(1)=(-1)^{101}=-1.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem