MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 49
rozdział 1. Zastosowania funkcji kwadratowej · temat „Przed obowiązkową maturą z matematyki” · 8 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Podstawiamy t=x^2\ge0: t^2-3t-28=(t-7)(t+4)=0, więc t=7.
x=\pm\sqrt7.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Z pierwszego równania y=2x. Drugie daje x^2-4x=x(x-4)=0.
(x,y)=(0,0) lub (4,8).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Z warunku a=12-3b mamy ab=12b-3b^2=-3(b-2)^2+12.
Największa wartość iloczynu wynosi 12, dla b=2 i a=6.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Równanie dwukwadratowe daje x\in\{\pm\sqrt5,\pm3\}. Nierówność (2x-5)(x+1)>0 zachodzi dla x<-1 lub x>\frac52.
Warunek spełniają x=-3, x=-\sqrt5 oraz x=3.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Dla prostej k dostajemy (x+1)^2=0, czyli jeden punkt. Dla l otrzymujemy (x+2)(x+4)=0, czyli dwa punkty.
Więcej punktów wspólnych ma prosta l: (-2,-1) i (-4,3). Prosta k ma tylko punkt (-1,0).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 6
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Ze skanu: równoległe boki trapezu mają długości x i z=2x, a odległość między nimi wynosi y=18-3x. Pole P(x)=\frac{x+z}{2}y=-\frac92(x-3)^2+\frac{81}{2} jest największe dla x=3. Wtedy czwarty bok ma długość \sqrt{y^2+(z-x)^2}=3\sqrt{10}.
Dla maksimum (x,y,z)=(3,9,6), a obwód wynosi 18+3\sqrt{10}>27.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu
Zadanie 7
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Niech bok kwadratowej podstawy ma długość x, a wysokość h. Z 8x+4h=48 mamy h=12-2x. Pole całkowite S=2x^2+4xh=-6(x-4)^2+96.
Największe pole powierzchni całkowitej wynosi 96\ \mathrm{cm}^2.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 8
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Dla A=(x_0,0) punkt B ma rzędną -\frac23x_0+4. Pole wynosi więc P(x_0)=x_0(-\frac23x_0+4)=-\frac23(x_0-3)^2+6.
a) P(x_0)=-\frac23x_0^2+4x_0 dla 0<x_0<6. b) Maksimum ma prostokąt o wierzchołkach O(0,0), A(3,0), B(3,2), C(0,2).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem