MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 48

Po podstawieniu t=x^2\ge0 równanie ma dokładnie jeden dodatni pierwiastek t=\frac{-5+\sqrt{409}}{16}, a więc dwa rozwiązania x.

Mianownik jest równy (4x^2-1)^2, dlatego trzeba wykluczyć x=\pm\frac12.

Porównujemy minima na [0,2]. Tylko dla f(x)=-x^2+3x+1 wartości na obu końcach są dodatnie, a funkcja wklęsła nie ma wewnętrznego minimum.

Równanie z odpowiedzi C rozkłada się na (x-2)(x-3)=0 i ma dwa różne dodatnie pierwiastki; pozostałe warianty nie spełniają obu warunków.

Zrównanie wzorów parabol daje 2(x-2)^2=0, stąd punkt wspólny to (2,4) i |2-4|=2.

Brak rozwiązań równania kwadratowego oznacza \Delta=9-8m<0.

Dla m\ne1 dokładnie jedno rozwiązanie daje \Delta=4(2-m)=0, czyli m=2. Przypadek m=1 prowadzi do równania liniowego z jednym rozwiązaniem.

Nierówność kwadratowa nie ma rozwiązań, gdy lewa strona jest wszędzie nieujemna. Dla m>0 jest to równoważne \Delta=16-16m\le0; przypadki m\le0 dają rozwiązania.

Jeśli krótszy bok ma długość x, to x(x+2)=288. Dodatnim rozwiązaniem jest x=16, więc boki mają 16 m i 18 m.

Równanie (x+4)(x+8)=96 ma dopuszczalne rozwiązanie x=4. Nowe boki mają długości 8 i 12, więc przekątna to \sqrt{8^2+12^2}=4\sqrt{13}.