MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 50

Dla t=x^2 otrzymujemy 36t^2-43t+12=0, skąd t=\frac49 lub t=\frac34. Dodatnie pierwiastki pierwotnego równania to \frac23 i \frac{\sqrt3}{2}; ich suma to 1{,}532\ldots.

Zrównanie funkcji daje x^2-2x-4=0. W pierwszej ćwiartce x_1=1+\sqrt5 i y_1=\frac{3+\sqrt5}{2}, więc x_1y_1=4+2\sqrt5=8{,}472\ldots.

Dla m\ne1 dwa różne pierwiastki wymagają \Delta=13-4m>0, czyli m<\frac{13}{4}. Największa całkowita wartość to m_0=3. Skan rozstrzyga błędne grupowanie OCR: pierwiastek obejmuje tylko 3, więc \sqrt3\,m_0=3\sqrt3=5{,}196\ldots.

Niech boki prostokąta mają długości a,b. Suma pól czterech kół zbudowanych na bokach jest równa polu koła opisanego plus ab, więc łączna powierzchnia czterech księżyców jest równa polu prostokąta ab. Z 2a+2b=8 mamy a+b=4, zatem ab\le\frac{(a+b)^2}{4}=4.

Rozpatrujemy osobno x\ge1 i x<1. W pierwszym przypadku nierówność sprowadza się do (x-2)(x+14)\ge0, w drugim do (x-6)(x+2)\ge0.

Dla m=1 równanie jest sprzeczne. Dla m\ne1 wyróżnik po podzieleniu przez m-1 ma znak wyrażenia \frac{m-9}{m-1}.

Warunki \Delta>0 oraz oba pierwiastki mniejsze od 4 można zapisać po podstawieniu y=4-x: dwa różne dodatnie pierwiastki ma y^2-(m+7)y+4m+16=0. Łącząc warunki Viète’a z wyróżnikiem, otrzymujemy dwa przedziały.

Dla równania monicznego |x_1-x_2|=\sqrt\Delta. Warunek daje (3m-\frac12)^2-24=144.

Ze wzorów Viète’a x_1+x_2=-k i x_1x_2=\frac m2. Warunek sumy kwadratów daje k^2-m=2, czyli m=k^2-2. Dwa różne pierwiastki wymagają \Delta=4-k^2>0.