MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 46

Wprowadzamy kolejno podstawienia t=x^2-2x, t=x^2+4x, t=x^2-5x i t=x^2+2x. Po rozwiązaniu równań w t wracamy do zmiennej x i odrzucamy równania bez rozwiązań rzeczywistych.

a) Podstawiamy t=\sqrt{x-4}\ge0, więc x=t^2+4 i t^2-9t-36=0; dopuszczalne jest t=12. b) Podstawiamy t=|x| i rozwiązujemy t^2-9t+18=0.

Uwzględniamy dziedzinę pierwiastka. a) dziedzina to [3,4]; czynnik x^2-1 nie zeruje się w niej, a pierwiastek znika na końcach. b) dziedzina to (-\infty,0]\cup[4,\infty); sprawdzamy zera obu czynników.

W obu przypadkach wyróżnik jest dodatni, więc istnieją dwa rzeczywiste pierwiastki. Ze wzorów Viète’a x_1^2+x_2^2-8x_1x_2=(x_1+x_2)^2-10x_1x_2.

a) Niech f(x)=Ax^2+Bx-2. Z S=\frac83 i \frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac SP=4 otrzymujemy A=-3 i B=8. b) Suma zer wynosi 10, więc f(x)=A(x^2-10x+24); warunek f(5)=2 daje A=-2.

Dwa pierwiastki o różnych znakach istnieją dla właściwego równania kwadratowego dokładnie wtedy, gdy iloczyn \frac ca<0. Osobno wykluczamy wartości zerujące współczynnik przy x^2.

Korzystamy z warunków Viète’a i \Delta>0. W a wymagamy dodatnich sumy i iloczynu; w b ujemnej sumy, dodatniego iloczynu i dodatniego wyróżnika.

Zbiór wartości [1,\infty) wymaga dodatniego współczynnika przy x^2 i wartości minimalnej równej 1. a) minimum to -(m^2+3m+1). b) równanie na minimum daje m=-\frac73, ale wtedy ramiona są skierowane w dół.

a) Jeden pierwiastek oznacza \Delta=0, więc m=\frac{k^2}{4}, a x_0=-\frac k2 daje |k|\le4. b) Ze wzorów Viète’a x_1^2+x_2^2=k^2-2m=4; warunek dwóch różnych pierwiastków daje 8-k^2>0.