MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 45
rozdział 1. Zastosowania funkcji kwadratowej · temat „Zestaw II” · 8 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Dokładnie jedno miejsce zerowe oznacza \Delta=0. Dla kolejnych wzorów otrzymujemy 9-4c=0, 20+4c=0, 4c+5=0 oraz c(c-4)=0.
a) c=\frac94; b) c=-5; c) c=-\frac54; d) c\in\{0,4\}.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 2
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Dwa różne miejsca zerowe istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy \Delta>0. Wyróżniki są równe odpowiednio b^2-16 i 4(b^2-1).
a) b\in(-\infty,-4)\cup(4,\infty); b) b\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Badamy poziome przecięcia wykresów. W a dwa zera i lokalny wierzchołek mają poziomy 0 i 1. W b minimum wynosi -\frac94, a f(0)=0. W c maksimum wynosi 4, a f(0)=3.
a) 0 rozwiązań dla m<0; 2 dla m=0 lub m>1; 3 dla m=1; 4 dla 0<m<1. b) 0 dla m<-\frac94; 2 dla m=-\frac94 lub m>0; 3 dla m=0; 4 dla -\frac94<m<0. c) 0 dla m>4; 2 dla m<3 lub m=4; 3 dla m=3; 4 dla 3<m<4.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 9
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Sprowadzamy wzory do postaci kanonicznej i porównujemy wartość w wierzchołku z wartościami na końcach przedziału.
a) minimum -2 dla x=-1, maksimum 6 dla x=1; b) minimum -8 dla x=4, maksimum 1 dla x=1; c) minimum 1 dla x=0, maksimum 9 dla x=2; d) minimum -12 dla x=-2, maksimum \frac14 dla x=\frac32.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 10
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Eliminujemy jedną zmienną z warunku i zapisujemy sumę kwadratów w postaci kanonicznej: a) 2(a-2)^2+8; b) 2(a-\frac32)^2+\frac92; c) 5(a-\frac25)^2+\frac15.
a) a=b=2; b) a=\frac32, b=-\frac32; c) a=\frac25, b=\frac15.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 11
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Jeśli boki mają długości a,b, zużyta siatka spełnia 2a+2b-10=240, czyli a+b=125. Iloczyn ab jest największy dla równych składników.
Ogródek powinien być kwadratem o wymiarach 62{,}5\text{ m}\times62{,}5\text{ m}.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 12
2 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
a) Zysk wynosi (240-x)(40+x)=-(x-100)^2+19600. b) Dla spadku sprzedaży o x zysk wynosi (240+20x)(40-x)=-20(x-14)^2+13520.
a) Obniżka 100 zł; wzrost zysku o 10000 zł. b) Podwyżka 280 zł; wzrost zysku o 3920 zł.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 13
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Rozwiązujemy osobno nierówność dla współrzędnej x i dla y; szukany zbiór jest iloczynem kartezjańskim otrzymanych przedziałów.
a) x\in(0,4) i y\in(-\infty,-2)\cup(2,\infty); b) x\in[-1,2] i y\in[-1,3]; c) x\in(-\infty,-3]\cup[2,\infty) i y\in(-\infty,-2)\cup(\frac12,\infty).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem