MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 44
rozdział 1. Zastosowania funkcji kwadratowej · temat „Zestawy powtórzeniowe” · 8 zadań z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
6 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Rozkładamy na czynniki lub sprowadzamy do kwadratu. W podpunkcie b skan potwierdza zapis x=\sqrt2\cdot x^2, więc x(\sqrt2x-1)=0. Pozostałe równania dają odpowiednio x(4x-5)=0, różnice kwadratów albo pełne kwadraty.
a) x\in\{0,\frac54\}; b) x\in\{0,\frac{\sqrt2}{2}\}; c) x=\pm\frac15; d) x=\pm\frac49; e) x=-1; f) x=6.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zweryfikowane skanem
Zadanie 2
9 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Liczymy wyróżniki albo rozkładamy trójmiany na czynniki. Po uporządkowaniu podpunkty g–i mają postacie x(x+3)=0, x^2+8x-1=0 i 2x^2+5x+3=0.
a) \{-1,5\}; b) \{\frac{-5-\sqrt{17}}4,\frac{-5+\sqrt{17}}4\}; c) \{-\frac13,5\}; d) \{6\}; e) \{\frac{-1-2\sqrt2}{7},\frac{-1+2\sqrt2}{7}\}; f) \{\frac{1-\sqrt{13}}6,\frac{1+\sqrt{13}}6\}; g) \{-3,0\}; h) \{-4-\sqrt{17},-4+\sqrt{17}\}; i) \{-\frac32,-1\}.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
6 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianów i odczytujemy znak zgodnie z kierunkiem ramion paraboli. W e lewa strona po przeniesieniu jest równa -2(x-1)^2, więc nierówność zachodzi zawsze.
a) (-\infty,\frac{-1-\sqrt5}{2}]\cup[\frac{-1+\sqrt5}{2},\infty); b) \{-\frac52\}; c) \varnothing; d) (1-\frac{\sqrt3}{3},1+\frac{\sqrt3}{3}); e) \mathbb R; f) (-\infty,1-\sqrt3)\cup(1+\sqrt3,\infty).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 4
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Najpierw rozwiązujemy nierówności definiujące A i B, a następnie wykonujemy działania na przedziałach. Przykładowo w a mamy A=[-1-\sqrt2,-1+\sqrt2] i B=(-\infty,-1]\cup[0,\infty).
a) A\cap B=[-1-\sqrt2,-1]\cup[0,-1+\sqrt2], A\setminus B=(-1,0); b) A\cap B=(-2+\sqrt2,3), A\setminus B=(-\infty,-2-\sqrt2)\cup[3,\infty); c) A\cap B=[2-\sqrt7,2+\sqrt7], A\setminus B=(-3,2-\sqrt7)\cup(2+\sqrt7,6).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 5
6 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Stosujemy zasadę iloczynu zerowego i rozkład na różnicę kwadratów. Czynniki x^2+9, x^2+16 i 2x^2+1 nie mają rzeczywistych miejsc zerowych.
a) x=\pm2; b) x\in\{\pm\frac23,\pm\sqrt3\}; c) x=\pm1; d) x=0; e) x\in\{-4,0,4\}; f) brak rozwiązań rzeczywistych.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 6
9 podpunktów
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Podstawiamy t=x^2\ge0, rozwiązujemy równanie kwadratowe w t i odrzucamy ujemne wartości t.
a) x=\pm2; b) x\in\{\pm\sqrt2,\pm2\}; c) brak rozwiązań; d) x=\pm\frac{\sqrt{3+\sqrt{105}}}{4}; e) x=\pm2\sqrt2; f) x=\pm\sqrt{1+\sqrt6}; g) x=\pm2; h) x=\pm\sqrt3; i) brak rozwiązań.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 7
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Zrównujemy prawe strony równań. Otrzymujemy kolejno (x+2)(x-1)=0, (x-1)(x-2)=0 i (x-1)(x-3)=0. Rozwiązania są współrzędnymi przecięć prostej i paraboli.
a) (-2,1), (1,4); b) (1,-2), (2,1); c) (1,0), (3,4). W każdym przypadku prosta przecina parabolę w dwóch punktach.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 8
3 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Zrównujemy wzory obu funkcji. Równania po redukcji to: a) x^2=1; b) x^2-4x+3=0; c) \frac34x(x+4)=0.
a) (-1,2), (1,2); b) (1,3), (3,3); c) (-4,1), (0,1).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem