MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 43
rozdział 1. Zastosowania funkcji kwadratowej · temat „1.10. Zagadnienia uzupełniające” · 3 zadania z rozwiązaniem
Rozwiązania: opracowanie własne
Zadanie 1
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Wystarczą przykłady symetryczne względem osi OY. Dla x^2+(y+2)^2=1 parabola leży poza kołem. Równanie x^2+(y+\frac12)^2=\frac14 po podstawieniu y=x^2 ma tylko x=0. Okrąg x^2+y^2=1 daje jedną dodatnią wartość x^2, czyli dwa punkty. Dla x^2+(y-3)^2=4 równanie w t=x^2 ma dwa dodatnie pierwiastki, więc są cztery punkty.
Przykładowo: a) x^2+(y+2)^2=1; b) x^2+(y+\frac12)^2=\frac14; c) x^2+y^2=1; d) x^2+(y-3)^2=4.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu
Zadanie 2
4 podpunkty
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Podstawiamy t=x^2\ge0 i korzystamy z równania paraboli. Otrzymujemy kolejno: a) t^2+t-4=0; b) t^2+9t=0; c) t^2-7t+6=0; d) t^2-9t=0. Z każdej dodatniej wartości t bierzemy x=\pm\sqrt t, a wartość t=0 daje x=0.
a) \left(\pm\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}},\frac{1-\sqrt{17}}2\right); b) (0,4); c) (\pm1,-3), (\pm\sqrt6,2); d) (0,5), (\pm3,-4).
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem
Zadanie 3
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Dwie różne krzywe stopnia drugiego mogą przeciąć się najwyżej w czterech punktach. Przesuwając i skalując elipsę względem okręgu, można uzyskać brak przecięć, styczność w jednym punkcie, dwa przecięcia, jedną styczność i dwa przecięcia albo cztery przecięcia.
Okrąg i elipsa mogą mieć 0, 1, 2, 3 albo 4 punkty wspólne.
Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem