MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 37

Wierzchołki funkcji to odpowiednio $x=2$ dla $f$ i $x=-1$ dla $g$. Porównujemy wartości w wierzchołku (gdy należy do przedziału) oraz na końcach.

a) Na $[0,4]$: $f(0)=f(4)=-1$, $f(2)=3$; $g(0)=-3$, $g(4)=9$. b) Na $[-2,0]$: $f(-2)=-13$, $f(0)=-1$; $g(-1)=-\frac72$, $g(-2)=g(0)=-3$. c) Na $[-4,6]$: $f(-4)=-33$, $f(2)=3$, $f(6)=-13$; $g(-1)=-\frac72$, $g(-4)=1$, $g(6)=21$.

Niech przyprostokątne mają długości $x$ i $8-x$, gdzie $0<x<8$.

a) Pole: $P(x)=\frac12x(8-x)=-\frac12(x-4)^2+8$, więc maksimum wynosi $8$.

b) Kwadrat przeciwprostokątnej: $c^2=x^2+(8-x)^2=2(x-4)^2+32$, więc minimum wynosi $32$. Oba ekstrema występują dla $x=4$.

Niech boki ogródka mają długości $a,b$. Zużyta siatka to obwód pomniejszony o nieogrodzony odcinek 4 m: $2a+2b-4=80$, więc $a+b=42$. Pole $P=a(42-a)=-(a-21)^2+441$ jest największe dla $a=21$, a wtedy $b=21$.

Niech $x$ oznacza bok prostopadły do ściany, a $y$ bok równoległy. Ogrodzone są dwa boki długości $x$ i jeden długości $y$, zatem $2x+y=28$. Pole $P=x(28-2x)=-2(x-7)^2+98$ jest największe dla $x=7$. Wtedy $y=14$.

Niech boki podstawy wynoszą $x$ i $6-x$, bo jej obwód jest równy 12. Pole całkowite przy wysokości 5:

Maksimum występuje dla $x=3$, więc podstawa jest kwadratem.

Niech boki podstawy będą $a$ i $2a$, a wysokość $h$. Szkielet ma 12 krawędzi, więc $4(a+2a+h)=56$ i $h=14-3a$. Pole całkowite:

Maksimum jest dla $a=3$, stąd drugi bok podstawy to 6, a wysokość 5.

Korzystamy z podobieństwa trójkątów, aby wyrazić szerokość prostokąta przez jego wysokość $x$.

a) Szerokość wynosi $4-2x$, więc $P(x)=x(4-2x)=-2(x-1)^2+2$, $0<x<2$. Maksimum jest dla $x=1$, a szerokość wynosi 2.

b) Szerokość przekroju trójkąta na wysokości $x$ wynosi $24(1-\frac x8)=24-3x$. Zatem $P(x)=x(24-3x)=-3(x-4)^2+48$, $0<x<8$. Maksimum jest dla $x=4$, a szerokość wynosi 12.

Badamy najpierw wewnętrzny trójmian na podanym przedziale, a następnie uwzględniamy monotoniczność funkcji $1/t$, $\sqrt t$ lub $t^2$.

a) $q=(x-2)^2+4$ ma minimum 4 dla $x=2$ i maksimum 8 dla $x=4$. b) $q=-(x-2)^2+8$ ma maksimum 8 dla $x=2$ i minimum 4 na końcach. c) $q=-5(x+1)^2+9$ ma maksimum 9 dla $x=-1$ i minimum 4 na końcach. d) $q=(x-3)^2-6$ przyjmuje wartości od $-6$ do $-2$; po podniesieniu do kwadratu minimum to 4, maksimum 36.