MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 38

a) Zysk jednostkowy wynosi $x-20$, a liczba sprzedanych lalek $s(x)=-40x+3600$. Zatem

$$z(x)=(x-20)(-40x+3600) =-40x^2+4400x-72000.$$

b) Parabola jest skierowana w dół. Jej wierzchołek ma odciętą $x_w=-\frac{4400}{2(-40)}=55$. Wtedy $s(55)=-40\cdot55+3600=1400$, a $z(55)=1400(55-20)=49000$.

Przy cenie $x$ sprzedaż wynosi $1000-50(x-15)=1750-50x$, a zysk jednostkowy $x-10$. Dlatego

$$z(x)=(x-10)(1750-50x) =-50x^2+2250x-17500.$$

W sensownym modelu $10\le x\le35$. Wierzchołek ma odciętą $x_w=\frac{2250}{100}=22{,}5$. Sprzedaż wynosi wtedy 625 sztuk, a zysk $12{,}5\cdot625=7812{,}50$ zł.

Niech $n$ oznacza liczbę obniżek po 5 zł. Zysk na sztuce wynosi $40-5n$, a sprzedaż $16+4n$. Łączny zysk:

$$Z(n)=(40-5n)(16+4n) =-20(n-2)^2+720.$$

Największy jest dla $n=2$, czyli dla obniżki $2\cdot5=10$ zł.

Niech $x$ oznacza zmianę ceny względem 16 zł. Wtedy cena to $16+x$, a liczba widzów $100-5x$. Dochód:

$$D(x)=(16+x)(100-5x) =-5(x-2)^2+1620.$$

Maksimum przypada dla $x=2$.