MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 34

Suma odwrotności wynosi $-\frac bc$; wymagamy też dwóch różnych pierwiastków i $c\ne0$.

a) $-(a+2)=6$, więc $a=-8$; wtedy $\Delta=32>0$. b) Dla $a\ne3$ iloraz $-\frac{-6(a-3)}{a-3}=6$ automatycznie. Pozostaje $\Delta=4(a-3)(9a-28)>0$.

Stosujemy $x_1^2+x_2^2=S^2-2P=16$ i sprawdzamy $\Delta>0$.

a) $S=2a,P=3$, więc $4a^2-6=16$. Stąd $a=\pm\frac{\sqrt{22}}2$; oba wyniki dają dwa różne pierwiastki.

b) $S=2a-4,P=a^2+1$. Równanie $(2a-4)^2-2(a^2+1)=16$ daje $a=4\pm\sqrt{17}$. Warunek $\Delta=-16a+12>0$ pozostawia tylko $4-\sqrt{17}$.

Dla równania $x^2+ax+1=0$ suma odwrotności kwadratów wynosi $a^2-2$. Zatem $a^2-2=7$, czyli $a=\pm3$. Dla obu wartości $\Delta=a^2-4=5>0$, więc pierwiastki są różne.

Suma odwrotności wynosi

Mianownik jest najmniejszy dla $a=-\frac12$, więc wtedy iloraz jest największy. Wyraz wolny jest zawsze dodatni, a $\Delta=4+4(a^2+a+1)>0$, zatem dwa różne pierwiastki istnieją.

a) Pierwiastek $x=0$ występuje zawsze. Aby był jedynym rozwiązaniem, trójmian w drugim czynniku nie może mieć rzeczywistych zer różnych od zera. Jego wyróżnik to $4(m-2)(m-3)$. Dla $2<m<3$ jest ujemny, a dla $m=2$ trójmian ma tylko pierwiastek $0$. Wartość $m=3$ daje dodatkowy pierwiastek $1$.

b) Zawsze mamy $x=-3$. Wyróżnik trójmianu to $-3(m-3)(m+1)$. Jest ujemny dla $m<-1$ lub $m>3$; przy $m=3$ trójmian ma podwójny pierwiastek $-3$. Pozostałe wartości dają inne zera.

a) Oznaczmy $t=m-1$. Dla $t\ne0$ wyróżnik wynosi $4(1-t^2)$. Gdy $m=1$, równanie jest liniowe i ma jedno rozwiązanie. Stąd liczba rozwiązań:

• 0 dla $m<0$ lub $m>2$;
• 1 dla $m\in\{0,1,2\}$;
• 2 dla $m\in(0,1)\cup(1,2)$.

b) Współczynnik przy $x^2$ to $m(m+2)$. Dla $m=0$ równanie jest sprzeczne, a dla $m=-2$ liniowe z jednym rozwiązaniem. Dla pozostałych $m$ mamy $\Delta=-8m(m+3)$. Zatem:

• 0 dla $m<-3$, $m=0$ lub $m>0$;
• 1 dla $m=-3$ lub $m=-2$;
• 2 dla $m\in(-3,-2)\cup(-2,0)$.

Dwa różne pierwiastki istnieją, gdy

czyli dla $-4<m<0$. Z wzorów Viète’a $f(m)=x_1x_2=m^2+4m+1=(m+2)^2-3$. Na tej dziedzinie najmniejszą wartość $-3$ funkcja przyjmuje dla $m=-2$. Równanie ma wtedy postać $x^2-2x-3=0=(x+1)(x-3)$.

Parametr musi spełniać $m\ne0$. Suma pierwiastków wynosi

Największa jest dla $m=-\frac12$. Wyróżnik $(m+1)^2-\frac1{16}$ jest wtedy dodatni. Po podstawieniu parametru i rozwiązaniu równania otrzymujemy pierwiastki poniżej.

Podstawiamy $t=x^2\ge0$. Cztery różne pierwiastki $x$ otrzymamy dokładnie wtedy, gdy równanie w $t$ ma dwa różne dodatnie pierwiastki, czyli $\Delta_t>0$, ich suma jest dodatnia i iloczyn dodatni.

a) $S=-m,P=1,\Delta_t=m^2-4$, co daje $m<-2$. b) $S=1,P=m,\Delta_t=1-4m$, co daje $0<m<\frac14$. c) $S=-m,P=-m-6$; warunki dają $m<-6$. d) $S=2-m,P=4-m,\Delta_t=m^2-12$; warunki dają $m<-2\sqrt3$.

a–b) Podstawiamy $t=x^2\ge0$ i zliczamy dodatnie pierwiastki $t$ (każdy daje dwa $x$) oraz ewentualny pierwiastek $t=0$ (daje jedno $x$). Analiza znaków równań $t^2+mt+4=0$ oraz $t^2+t+m=0$ daje funkcje liczby rozwiązań zapisane poniżej.

c) $x^2+2x-8=(x+1)^2-9$. Dla $m<0$ wartość bezwzględna nie może być równa $m$. Dla $m=0$ są dwa zera. Dla $0<m<9$ oba równania $(x+1)^2=9\pm m$ dają po dwa rozwiązania; dla $m=9$ drugie daje jedno, a dla $m>9$ tylko pierwsze daje dwa.

Najpierw $\Delta=(m-6)(m+2)>0$, więc kandydatami są $m<-2$ lub $m>6$ (przy $m=-3$ równanie jest liniowe, więc odpada).

Gdy $m<-3$, pierwiastki mają różne znaki i $|x_1|+|x_2|=|x_1-x_2|=\frac{\sqrt\Delta}{|m+3|}$. Warunek $\Delta\le(m+3)^2$ prowadzi do $m\ge-\frac{21}{10}$, sprzecznie z $m<-3$.

Gdy $-3<m<-2$, pierwiastki mają ten sam znak i $|x_1|+|x_2|=|x_1+x_2|=\frac{|m|}{|m+3|}>1$. Dla $m>6$ ten sam iloraz wynosi $\frac m{m+3}<1$, więc wszystkie takie parametry spełniają warunek.