MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 33

Warunek co najmniej jednego pierwiastka to $\Delta\ge0$, z osobnym sprawdzeniem przypadku równania liniowego.

a) $36-8m\ge0$, więc $m\le\frac92$. b) $\Delta=(m-2)(m-4)\ge0$, więc $m\le2$ lub $m\ge4$. c) Dla $m\ne0$: $16-4m\ge0$, czyli $m\le4$; dla $m=0$ pozostaje równanie liniowe, które także ma rozwiązanie. d) Dla $m\ne1$: $\Delta=4(m^2-1)\ge0$. Wartość $m=1$ daje sprzeczność $2=0$, więc trzeba ją wykluczyć.

Ponieważ wszystkie równania są moniczne, pierwiastki mają różne znaki dokładnie wtedy, gdy wyraz wolny, czyli ich iloczyn, jest ujemny.

a) $k+3<0$; b) $-k+5<0$; c) $-2k+2<0$; d) $4-4k<0$.

Dwa różne dodatnie pierwiastki wymagają jednocześnie $\Delta>0$, $S=-\frac ba>0$ i $P=\frac ca>0$.

a) Warunki redukują się do $m>4$. b) $S>0$ daje $m<0$, $P>0$ daje $m>-3$, a $\Delta=4(4m+3)(m-1)>0$; przecięcie to $-3<m<-\frac34$. c) $S>0$ wymaga $m<\frac52$, natomiast $P>0$ wymaga $m>3$ — warunki są sprzeczne. d) $S>0$, $P>0$ i $\Delta=(m+5)^2>0$ dają wspólnie $m>2$.

Dwa różne ujemne pierwiastki wymagają $\Delta>0$, $S<0$ i $P>0$.

a) Suma jest stale równa $-4$. Iloczyn jest dodatni dla $m<0$ lub $m>4$, a $\Delta=5-(m-2)^2>0$, czyli $2-\sqrt5<m<2+\sqrt5$. Po przecięciu dostajemy dwa przedziały.

b) $S=\frac m2<0$ wymaga $m<0$, a $P=m-1>0$ wymaga $m>1$. Nie mogą zachodzić jednocześnie.

Dla znaku ostrego trójmian musi mieć właściwy kierunek ramion i $\Delta<0$; dla nieostrego dopuszczamy $\Delta=0$. Otrzymujemy:

a) $9-4k<0$; b) $k^2-36\le0$; c) $(k-6)(k+2)<0$; d) $k^2-4k-4\le0$; e) współczynnik wiodący jest ujemny i $\Delta=4(k+2)\le0$; f) $k>0$ oraz $\Delta=4(1-k)<0$.

W a–d wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne dla każdego $x$; w e–f mianownik wymaga wartości ściśle dodatniej. Stosujemy kierunek ramion i warunek na wyróżnik, osobno uwzględniając stały wielomian przy zerowym współczynniku kwadratowym.

a) $\Delta=k(k-4)\le0$. b) $5-k>0$ oraz $\Delta=k^2-16\le0$. c) warunki dają $k\le1$. d) warunki dają $k\ge8$. e) dla $k>0$: $4k(k-2)<0$, a $k=0$ daje dodatnią stałą $2$. f) $k>0$ i $1-4k^2<0$.

Korzystamy z $S=x_1+x_2$ i $P=x_1x_2$, zawsze dodając warunek $\Delta>0$.

a) $S=a-4>2$, więc $a>6$; wyróżnik $a^2+16$ jest zawsze dodatni. b) Warunek $S^2-2P=2S$ daje $S=4$ lub $S=-2$, lecz dla tych wartości równanie nie ma dwóch różnych pierwiastków. c) $x_1^2x_2+x_1x_2^2=PS=-a(2a-3)<0$ oraz $\Delta=(a-2)(a-6)>0$; przecinamy zbiory. d) $(x_1-x_2)^2=\Delta=4a^2+1=5$, więc $a=\pm1$.