MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 32

Wyróżnik równania wynosi $\Delta=m^2-4\cdot2\cdot(-3)=m^2+24$. Jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej $m$, więc równanie ma zawsze dwa rzeczywiste rozwiązania.

Wyróżnik, traktowany jako funkcja parametru, ma postać

Ten trójmian ma ujemny wyróżnik $2^2-4(-3)(-3)=-32$ i ujemny współczynnik wiodący, więc jest ujemny dla każdego $m$. Równanie w $x$ nie ma zatem pierwiastków rzeczywistych dla żadnego parametru.

Suma odwrotności wynosi $-\frac bc$, a tutaj $c=1$. Trzeba równocześnie zapewnić, że równanie pozostaje kwadratowe i ma dwa różne pierwiastki.

a) Warunek sumy: $-(m+2)>-6$, czyli $m<4$. $\Delta=m^2-8>0$, a $m\ne-3$. Przecinamy te warunki.

b) Warunek sumy: $1-m>-6$, czyli $m<7$. $\Delta=m^2-6m+1>0$, a $m\ne0$. Zera wyróżnika względem $m$ to $3\pm2\sqrt2$.

Korzystamy z $x_1^2+x_2^2=S^2-2P$ i na końcu sprawdzamy $\Delta>0$.

a) $S=1-k$, $P=4$, więc $(k-1)^2-8=17$. Stąd $(k-1)^2=25$ i $k=-4$ lub $6$; dla obu $\Delta=9>0$.

b) $S=k-2$, $P=\frac12k^2+1$, więc $(k-2)^2-(k^2+2)=17$, czyli $2-4k=17$. Stąd $k=-\frac{15}{4}$; wyróżnik jest dodatni.

Dla trójmianu skierowanego w górę warunek $\ge0$ dla wszystkich $x$ jest równoważny $\Delta\le0$. Dla trójmianu skierowanego w dół i znaku $\le0$ obowiązuje analogiczne kryterium.

a) $\Delta=(k-3)^2-16k=k^2-22k+9\le0$. Zera to $11\pm4\sqrt7$.

b) Potrzebujemy $k-1<0$ oraz $\Delta=4k^2-4(k-1)^2=4(2k-1)\le0$. Drugi warunek daje $k\le\frac12$ i zapewnia też pierwszy.