MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 329

Najpierw upraszczamy podaną wartość:

Równanie ma postać $2^3=(2^{1/4})^n=2^{n/4},$ więc $n=12$. Rozkład $12=2^2\cdot3$ pokazuje, że liczba naturalnych dzielników wynosi $(2+1)(1+1)=6$.

Z przynależności punktu do wykresu wynika $\log_a8=\frac32,$ czyli $a^{3/2}=8=2^3$. Podnosząc obie strony do potęgi $2/3$, otrzymujemy $a=4$.

Obliczamy obie strony niezależnie: $4\log_93+9\log_39=4\cdot\frac12+9\cdot2=2+18=20,$ $5\log_381=5\cdot4=20.$ Obie strony są równe $20$, co dowodzi podanej równości.

Łączymy logarytmy:

Podstawiamy współrzędne punktu $P$: $a^{-1/2}-3=-1,$ więc $a^{-1/2}=2$, $\sqrt a=\frac12$ i $a=\frac14$. Zatem $f(-5)=(\tfrac14)^{-5}-3=4^5-3=1021.$

Mamy $g(x)=9\cdot3^x=3^{x+2}=f(x+2)$, więc wykres $g$ jest przesunięciem wykresu $f$ o $2$ jednostki w lewo.

Jeśli $P=(x_P,100)$, to $3^{x_P}=100$. Dla punktu $Q=(x_Q,100)$: $3^{x_Q+2}=100$, zatem $x_Q=x_P-2$. Punkty mają tę samą współrzędną $y$, więc długość poziomego odcinka jest równa $|x_P-x_Q|=2$.

Długości przyprostokątnych wynoszą $a=\log_{1/2}2^{-5}=5,$ $b=\log_33^{15}-\log_327=15-3=12.$ Z twierdzenia Pitagorasa przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{5^2+12^2}=13$.

Pierwsze równanie daje $3p=1,$ bo $\log_{1/2}\frac18=3$ i $\log_{1/2}\frac12=1$. Zatem $p=\frac13$.

W drugim równaniu $4^6q-2^{10}=4\cdot2^8=2^{10}$, więc $2^{12}q=2^{11}$ i $q=\frac12$. Stąd $\frac1{p^2}+\frac1{q^2}=9+4=13.$

Obliczamy parametry: $a=\log_9\sqrt3=\log_{3^2}3^{1/2}=\frac14,$ $b=\log_3\frac19=-2.$ Zatem $f(x)=(\frac14)^x-2$. Jest to funkcja malejąca o asymptocie $y=-2$. Przechodzi między innymi przez punkty $(-1,2)$, $(-\frac12,0)$ i $(0,-1)$.