Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 328

rozdział 6. Funkcja wykladnicza i logarytmiczna · temat „Zadania testowe” · 9 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Zapisujemy wszystkie czynniki jako potęgi 55:

y=5^{1/6}(5^4)^{1/4}=5^{7/6}.$$ Iloczyn wynosi $5^0=1$.
Odpowiedź

xy=1xy=1, zatem poprawna jest odpowiedź B.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Mamy

=\left(3^{4/6}\right)^{3/2}=3,$$ więc podany argument to $x=-3$. Stąd $f(-3)=10^{-2(-3)}=10^6$, a ta liczba jest większa od $10\,000$.
Odpowiedź

f(x)=1 000 000∈(10 000,∞)f(x)=1\,000\,000\in(10\,000,\infty) — odpowiedź D.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Funkcja f(x)=3−x=(13)xf(x)=3^{-x}=(\frac13)^x jest malejąca. Ponieważ −2>−3-\sqrt2>-\sqrt3, mamy f(−2)<f(−3).f(-\sqrt2)<f(-\sqrt3). To dokładnie relacja z odpowiedzi C. Pozostałe relacje odwracają porządek argumentów niezgodnie z monotonicznością funkcji.

Odpowiedź

Poprawna jest odpowiedź C.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Liczbę zapisujemy jako 31,25=1254=5322.31{,}25=\frac{125}{4}=\frac{5^3}{2^2}. Zatem log⁡331,25=3log⁡35−2log⁡32=3b−2a.\log_3 31{,}25=3\log_35-2\log_32=3b-2a.

Odpowiedź

3b−2a3b-2a — odpowiedź C.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Łączymy logarytmy i usuwamy niewymierność z mianownika:

=\log_n(2+\sqrt3).$$ Wszystkie proponowane podstawy są większe od $1$, więc nierówność $\log_n(2+\sqrt3)>1$ jest równoważna $n<2+\sqrt3\approx3{,}732$. Spośród podanych liczb warunek spełnia tylko $n=3$.
Odpowiedź

n=3n=3 — odpowiedź D.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

W odpowiedzi B pierwszy logarytm wymaga x2−1>0x^2-1>0, czyli x<−1x<-1 lub x>1x>1, a drugi wymaga 1+x>01+x>0, czyli x>−1x>-1. Ich część wspólna to (1,∞)(1,\infty).

Dla porównania: w A dziedziną jest (−∞,−1)(-\infty,-1), a w C i D — (−1,1)(-1,1).

Odpowiedź

Dziedzinę (1,∞)(1,\infty) ma funkcja z odpowiedzi B.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Z punktu P(−2,4)P(-2,4) wynika ∣log⁡a(−2)2∣=∣log⁡a4∣=4,|\log_a(-2)^2|=|\log_a4|=4, czyli ∣log⁡a2∣=2|\log_a2|=2. Dla x=116=2−4x=\frac1{16}=2^{-4} mamy

=8|\log_a2|=16.$$ Zatem do wykresu należy punkt $(\frac1{16},16)$.
Odpowiedź

Poprawna jest odpowiedź A.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Równanie przekształcamy do postaci 2∣x∣=4−m2.2^{|x|}=4-m^2. Lewa strona ma minimum 11 dla x=0x=0; wartość większa od 11 daje dwa rozwiązania symetryczne, a wartość 11 — dokładnie jedno. Potrzebujemy więc 4−m2=14-m^2=1, czyli m=±3m=\pm\sqrt3. Stąd m12+m22=3+3=6m_1^2+m_2^2=3+3=6.

Odpowiedź

Suma wynosi 66 — odpowiedź C.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 9

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Korzystamy z odwrotności logarytmów i zmiany podstawy: 1log⁡43=log⁡34=2log⁡32,\frac1{\log_43}=\log_34=2\log_32,

=2\cdot\frac34\log_32=\frac32\log_32.$$ Suma jest równa $\frac72\log_32=3{,}5\log_32$.
Odpowiedź

3,5log⁡323{,}5\log_32 — odpowiedź B.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem