MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 330 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Funkcja $3^{|x|}$ ma zbiór wartości $[1,\infty)$ , zatem zbiór wartości $f$ jest równy $[1-|\log_a3+1|,\infty).$ Aby jego lewym końcem było $0$ , musi zachodzić $|\log_a3+1|=1$ . Przypadek $\log_a3=0$ jest niemożliwy, pozostaje więc $\log_a3=-2$ . Stąd $a^{-2}=3$ i $a=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.$ Ponadto $\log_9a=\log_{3^2}3^{-1/2}=-\frac14\in\mathbb Q.$

Odpowiedź

$a=\frac{\sqrt3}{3}$ , a $\log_9a=-\frac14$ jest liczbą wymierną.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

2 podpunkty

zweryfikowane skanem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Iloczyn upraszcza się do $h(x)=\log_2x\cdot\frac1{\log_2x}=1.$ Wspólna dziedzina wymaga $x>0$ i $x\ne1$ . Wykres składa się więc z dwóch części prostej $y=1$ : dla $0<x<1$ i $x>1$ , z luką nad $x=1$ .

b) Oznaczmy $t=\log_2x\ne0$ . Równanie $t=\frac1{4t}$ daje $4t^2=1$ , czyli $t=\pm\frac12$ . Zatem $x=2^{1/2}=\sqrt2$ lub $x=2^{-1/2}=\frac{\sqrt2}{2}$ .

Odpowiedź

a) $h(x)=1$ dla $x\in(0,1)\cup(1,\infty)$ ; b) $x\in\{\frac{\sqrt2}{2},\sqrt2\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zweryfikowane skanem

Zadanie 3

zweryfikowane skanem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Równanie parametru upraszczamy: $7^m+7^{m-1}=7^{m-1}(7+1)=56.$ Stąd $7^{m-1}=7$ , więc $m=2$ .

Zatem $f(x)=|2^x-4|$ . Dla $x\le2$ mamy $f(x)=4-2^x$ , a dla $x\ge2$ mamy $f(x)=2^x-4$ . Wykres przechodzi przez $(0,3)$ , ma miejsce zerowe $(2,0)$ , a dla $x\to-\infty$ zbliża się do prostej $y=4$ .

Odpowiedź

$m=2$ oraz $f(x)=\begin{cases}4-2^x,&x\le2,\\2^x-4,&x\ge2.\end{cases}$

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zweryfikowane skanem

Zadanie 4

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z rysunku odczytujemy $P=(-1,-2)$ . Ponieważ punkt należy do $f(x)=\log_p(-4x)$ , $-2=\log_p4,$ więc $p^{-2}=4$ i $p=\frac12$ .

Dziedziną jest $x<0$ . Funkcja $f(x)=\log_{1/2}(-4x)$ jest rosnąca i ma zero dla $-4x=1$ , czyli $x=-\frac14$ . Po nałożeniu modułu funkcja $g$ maleje na $(-\infty,-\frac14]$ i rośnie na $[-\frac14,0)$ .

Warunek $|f(x)|\le2$ jest równoważny $-2\le\log_{1/2}(-4x)\le2.$ Stąd $\frac14\le-4x\le4$ , czyli $-1\le x\le-\frac1{16}$ .

Odpowiedź

$p=\frac12$ ; $g$ maleje na $(-\infty,-\frac14]$ i rośnie na $[-\frac14,0)$ ; nierówność zachodzi dla $x\in[-1,-\frac1{16}]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

2 podpunkty

niejednoznaczne

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Obliczamy współrzędne danego punktu:

q=\log_{2\sqrt2}64=4.$$ Zatem $a^{-4}=4$, czyli $a=2^{-1/2}=\frac1{\sqrt2}$. a) $f(-6)=a^{-6}=2^3=8$, a $f(-2)=a^{-2}=2$. Stąd $n=6$. Jego dzielniki właściwe to $1,2,3$, a $1+2+3=6$, więc $n$ jest liczbą doskonałą. b) $$g(x)=f(-|x|)=a^{-|x|}=2^{|x|/2}.$$ Funkcja jest parzysta, ma minimum $g(0)=1$ i rośnie wraz z $|x|$.

Odpowiedź

a) $n=6=1+2+3$ , więc jest liczbą doskonałą; b) $g(x)=2^{|x|/2}$ , minimum $(0,1)$ , oś symetrii $Oy$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: niejednoznaczne

Zadanie 6

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dziedzina spełnia $\frac{x+1}{x-1}>0,$ czyli $D_f=(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$ . Jeśli $x_2=-x_1$ , to

=\log_2\frac{x_1-1}{x_1+1} =-\log_2\frac{x_1+1}{x_1-1}=-f(x_1).$$ Zatem $f(x_1)+f(x_2)=0$.

Odpowiedź

Wykazano, że $f$ jest nieparzysta na swojej symetrycznej dziedzinie, więc dla $x_1+x_2=0$ zachodzi $f(x_1)+f(x_2)=0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 7

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla $m>1$ oznaczmy $t=\log_2m>0$ . Równanie daje $|x+2|=t,$ czyli $x_1=-2-t$ i $x_2=-2+t$ . Pierwszy pierwiastek jest zawsze ujemny. Drugi jest ujemny dokładnie wtedy, gdy $t<2$ . Zatem $0<\log_2m<2,$ co jest równoważne $1<m<4$ .

Odpowiedź

Równanie ma dwa rozwiązania ujemne dla $m\in(1,4)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Miejsce zerowe logarytmu wymaga, aby jego argument był równy $1$ : $x^2+4x-5=1.$ Stąd $x^2+4x-6=0$ i kandydaci to $x=-2\pm\sqrt{10}$ .

Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od $1$ . Dla $x=-2-\sqrt{10}$ mamy $9-x^2<0$ , więc kandydat odpada. Dla $x=-2+\sqrt{10}$ podstawa jest dodatnia i różna od $1$ , a argument wynosi $1$ .

Odpowiedź

Jedynym miejscem zerowym jest $x=-2+\sqrt{10}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 9

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy z logarytmu potęgi i odwrotności logarytmów:

=2\log_ab\cdot\frac13\log_ba =\frac23\log_ab\cdot\frac1{\log_ab} =\frac23.$$ Założenia na $a$ i $b$ gwarantują istnienie wszystkich logarytmów oraz niezerowość użytego czynnika.

Odpowiedź

Wyrażenie ma stałą wartość $\frac23$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu