MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 324

Sprowadzamy czynniki do wspólnych podstaw.

a) $2^{-3}\cdot2^{-4}:2^{-6}=2^{-1}=\frac12$. b) $10^{-2}:(5^{-6}\cdot5^4)=10^{-2}:5^{-2}=\frac14$. c) $(\frac69)^4:(4^2\cdot12^{-1})=(\frac23)^4:\frac43=\frac4{27}$. d) Po zapisaniu liczb jako potęg $2$ i $5$ otrzymujemy

a) $25^{3/2}\cdot125^{-1/3}=5^3\cdot5^{-1}=25$. b) $64^{-1/2}\cdot8^{5/3}=2^{-3}\cdot2^5=4$. c) $8^{2/3}\cdot32^{-3/5}=2^2\cdot2^{-3}=\frac12$. d) $(10^{-3})^{-1/3}\cdot(0{,}3)^1=10\cdot0{,}3=3$.

Dodajemy wykładniki tych samych podstaw.

a) $5^{5/6+1/2-4/3}=5^0=1$. b) $2^{1/3-1/2+7/6}=2^1=2$. c) $(2^2 5^2)^{1/3}5^{1/3}2^{4/3}=2^2\cdot5=20$. d) $\frac{11^{3/2}}{2\cdot11^{1/2}}(\frac2{11})^3 =\frac{11}{2}\cdot\frac8{11^3}=\frac4{121}$.

Zamieniamy pierwiastki na potęgi o wykładnikach wymiernych.

a) $3^{1/3}\cdot3^{3/2}:3^2=3^{-1/6}$. b) $(3\cdot3^{1/2})^{1/4}=3^{3/8}$. c) $\sqrt{5\sqrt{5\sqrt5}}=5^{(1+(1+1/2)/2)/2}=5^{7/8}$. d) $2^{4/3}\cdot(2\cdot2^{3/4})^{1/2} =2^{4/3+7/8}=2^{53/24}$.

a) Po zapisaniu wszystkich liczb jako potęg $5$ porównujemy wykładniki $2{,}2$, $\sqrt5$, $2{,}4$, $2{,}5$ i $2\sqrt2$.

b) Jako potęgi $2$ liczby mają kolejno istotne wykładniki $-\sqrt3$, $-\frac32$, $-\frac43$, $-1$ i $-\frac34$.

c) Jako potęgi $3$ porównujemy $-\frac\pi2$, $-\frac23$, $-\frac12$, $\frac23$ i $\frac34$.

d) Przybliżenia wynoszą odpowiednio $4{,}5^{-2}\approx0{,}0494$, $0{,}064$, $2{,}5^{-2{,}4}\approx0{,}1109$ oraz $0{,}4^{\sqrt3}\approx0{,}2045$.

Oznaczmy $q=10^{0{,}1}\approx1{,}258925$.

a) $10^{1{,}1}=10q\approx12{,}58925$. b) $10^{-0{,}9}=q/10\approx0{,}1258925$. c) $10^{-1{,}9}=q/100\approx0{,}01258925$. d) $10^{-2{,}9}=q/1000\approx0{,}001258925$. Po zaokrągleniu zachowujemy cztery miejsca po przecinku.

Podstawiamy współrzędne punktu do równania $a^x=y$.

a) $a^{5/2}=32=2^5$, więc $a=4$. b) $a^{1/2}=\frac{\sqrt2}{2}=2^{-1/2}$, więc $a=\frac12$. c) $a^{-6}=729=3^6$, więc $a=\frac13$.

Każdy wykres przechodzi przez $(0,1)$ i ma asymptotę poziomą $y=0$. Pierwszy jest rosnący, a dwa pozostałe malejące.

Korzystamy z przesunięć i odbić wykresu funkcji wykładniczej.

a) $2^x-4>-4$; zero spełnia $2^x=4$, więc $x=2$. b) $3^{x-1}+2>2$ i funkcja nie ma zera. c) $2+2^{-x}>2$ i funkcja nie ma zera. d) $4-2^x<4$; zero jest dla $x=2$. e) $1-3^{-x}<1$; zero jest dla $x=0$. f) $4\cdot2^{2x}-4>-4$; zero jest dla $x=0$.

Zapisujemy $27=3^3$, $243=3^5$ i $\sqrt3=3^{1/2}$.

a)--i) Porównanie wykładników daje kolejno $3$, $\frac13$, $-5$, $-\frac13$, $-3$, $\frac16$, $6$, $\frac12$, $\frac23$.

j) $(3^3)^{\log_3 2}=2^3=8$. k) $(3^{3/2})^{\log_3 2}=2^{3/2}=2\sqrt2$. l) $3^{1-\log_3 2}=3/2$.