MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 323

Najpierw wyznaczamy dziedzinę, a następnie korzystamy z monotoniczności.

a) $x>2$ oraz $x-2\le4^3=64$, więc $2<x\le66$. b) $2x+4>0$ i, przy podstawie $\frac12$, warunek logarytmu dodatniego daje $2x+4<1$. Stąd $-2<x<-\frac32$. c) Dziedzina daje $x>\frac32$. Podstawa $\frac13$ jest malejąca, zatem $2x-3<x+4$, czyli dodatkowo $x<7$. d) Dziedzina wymaga $x>0$. Ponieważ $7>1$, $x^2+3\le4x$, czyli $(x-1)(x-3)\le0$.

Łączymy logarytmy i przecinamy wynik z dziedziną.

a) Dla $x>1$: $\log_{1/2}\frac{x}{x-1}\le-2$. Malejąca podstawa daje $x/(x-1)\ge4$, więc $1<x\le\frac43$. b) Dla $x>1$: $\log_2(x^2-1)>3$, stąd $x^2>9$ i $x>3$. c) Dla $x>1$: $\log_6(x(x-1))\le1$, więc $x(x-1)\le6$ i $1<x\le3$. d) Dla $x>2$: $\log_{1/6}((x+3)(x-2))<-1$. Malejąca podstawa daje $(x+3)(x-2)>6$, stąd $x>3$. e) Dla $x>0$: $\log_4\frac{x^2}{x+2}>1$, więc $x^2>4x+8$ i $x>2+2\sqrt3$. f) Dziedzina: $x\ne0$ i $|x|<\sqrt6$. Ponieważ $\log_4\frac{x^2}{6-x^2}\ge\frac12$, mamy $x^2/(6-x^2)\ge2$, czyli $|x|\ge2$.

Argument logarytmu zewnętrznego musi być dodatni.

a) $0<\log_3x<1$, zatem $1<x<3$. b) $\log_{0{,}5}x\ge1$, a ponieważ podstawa jest mniejsza od $1$, $0<x\le\frac12$. c) $0<\log_2(x+2)<4$, więc $1<x+2<16$ i $-1<x<14$.

Sprowadzamy każdą nierówność do wielomianowej względem logarytmu.

a) Dla $t=\log_3x$: $(t+2)(t-1)<0$, więc $\frac19<x<3$. b) Dla $t=\log_{0{,}5}x$: $(t-1)(t-4)\le0$. Ponieważ podstawa jest malejąca, $\frac1{16}\le x\le\frac12$. c) Dla $t=\log_{0{,}1}x$: $(t+1)(t-6)\le0$, więc $10^{-6}\le x\le10$. d) Dla $t=\log_4x$: $(2t-1)(t+1)\ge0$, więc $0<x\le\frac14$ lub $x\ge2$. e) Dla $t=\log_2x$: $t(t-2)(t+2)\ge0$, więc $\frac14\le x\le1$ lub $x\ge4$. f) Dla $t=\log(2x)$: $t^2(t-1)\ge0$. Otrzymujemy $t=0$ albo $t\ge1$, czyli $x=\frac12$ albo $x\ge5$.

Sprawdzamy oddzielnie podstawę z przedziału $(0,1)$ i podstawę większą od $1$.

a) Dla $0<x<1$ funkcja logarytmiczna jest malejąca i nierówność zachodzi. Dla $x>1$ jest równoważna $4<x$. Stąd $0<x<1$ lub $x>4$.

b) Dla $0<x<1$ nierówność nie ma rozwiązań. Dla $x>1$ mamy $4\ge x^2$, czyli $1<x\le2$.

c) Dziedzina daje $x>0$, więc podstawa $x+1$ jest większa od $1$. Nierówność jest zatem równoważna $2x\ge x+1$, czyli $x\ge1$.