MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 325

a) $49^{0{,}7}=7^{1{,}4}$, więc pierwsze dwa czynniki się redukują, a $27^{4/3}=3^4=81$.

b) $32^{1/4}\cdot10^{3/4}\cdot5^{1/4} =2^{5/4}(2\cdot5)^{3/4}5^{1/4}=2^2\cdot5=20$.

c) $(2\cdot3)^{-1/2}2^{5/2}3^{3/2}=2^2\cdot3=12$.

a) $\sqrt{18}\sqrt2+\sqrt3\sqrt{27}=\sqrt{36}+\sqrt{81}=15$.

b) $(2\cdot8)^{1/4}-(16\cdot4)^{1/3}=2-4=-2$.

c) $(3^{-3/4})^{-4}=3^3=27$, natomiast $(9^{-3/2})^{1/3}=9^{-1/2}=\frac13$. Iloraz wynosi $81$.

a) Pierwiastek z $x$ i niezerowy mianownik wymagają $x>0$; potęga o mianowniku $3$ dopuszcza $y\in\mathbb R$, lecz mianownik wymaga $y\ne0$. Otrzymujemy $\frac{(1/9)x^{1/2}y^{1/3}}{(1/27)x^{3/2}y^{4/3}}=\frac3{xy}.$

b) Musi być $x>0$, $y>0$. Ze wzoru skróconego mnożenia wynik to $\frac1x-\frac1y$.

c) Ujemne wykładniki wymagają $a\ne0$, a pierwiastek szóstego stopnia występujący w podstawie: $b>0$. Suma wykładników daje $a^{-1}b^{-1}$.

d) Wymagamy $x>0$, $y>0$. Odejmowanie wykładników daje $x^{1{,}5-0{,}5}y^{-0{,}25+1{,}25}=xy$.

a) $x=(2^{-3})^{-2}=2^6=64$. Ponieważ oba czynniki pod pierwiastkami są dodatnie, $y=\sqrt{(2\sqrt5+2)(2\sqrt5-2)}=\sqrt{20-4}=4.$ Zatem $x>y$.

b) $x=\sqrt{3/12}=\frac12$. Natomiast $y=9^{-1/2}\cdot81^{3/4}=\frac13\cdot27=9$, więc $y>x$.

a) Najpierw odbijamy wykres $f$ względem osi $Oy$, a następnie względem osi $Ox$: $g(x)=-f(-x)=-(\tfrac12)^{-x}=-2^x.$ Wartości są zawsze ujemne, więc $W_g=(-\infty,0)$.

b) Zastąpienie $x$ przez $x-1$ przesuwa wykres o $1$ w prawo, a odjęcie $1$ — o $1$ w dół: $g(x)=(\tfrac12)^{x-1}-1.$ Asymptotą jest $y=-1$, zatem $W_g=(-1,\infty)$.

a) Wspólna dziedzina to $x>0$. Ponieważ $\log_{0{,}5}x=-\log_2x$, nierówność ma postać $\log_2(x+1)+\log_2x\ge1.$ Stąd $x(x+1)\ge2$, a po przecięciu z dziedziną: $x\ge1$.

b) Wspólna dziedzina to $x>3$. Zapisujemy $\log_{1/3}(x+3)=-\log_3(x+3)$ i otrzymujemy $3\ge\log_3((x+3)(x-3)).$ Zatem $x^2-9\le27$, co w dziedzinie daje $3<x\le6$.

Analizujemy wpływ modułu na odległość od punktów charakterystycznych.

a) $|x-3|$ maleje do $x=3$, a potem rośnie. Funkcja maleje na $(-\infty,3]$ i rośnie na $[3,\infty)$.

b) Funkcja jest parzysta, ma minima dla $x=\pm1$ i lokalne maksimum dla $x=0$. Maleje na $(-\infty,-1]$ i $[0,1]$, rośnie na $[-1,0]$ i $[1,\infty)$.

c) Funkcja jest parzysta; rośnie na $(-\infty,0]$ i maleje na $[0,\infty)$.

d) Po lewej stronie asymptoty $x=1$ argument $|x-1|$ maleje, a po prawej rośnie. Funkcja maleje na $(-\infty,1)$ i rośnie na $(1,\infty)$.

e) Moduł odbija ujemną część logarytmu: funkcja maleje na $(1,2]$ i rośnie na $[2,\infty)$.

f) Punkty $x=0$ i $x=2$ są miejscami zerowymi, a $x=1$ asymptotą. Funkcja maleje na $(-\infty,0]$ i $(1,2]$, a rośnie na $[0,1)$ i $[2,\infty)$.

a) $a=\log_39=2$, a $b=\log_2256=8$. Zatem $\sqrt{ab}=\sqrt{16}=4$.

b) Z $\log_2a=5$ mamy $a=32$, a z $\log_4b=\frac12$ mamy $b=2$. Stąd $\sqrt{ab}=\sqrt{64}=8$.

Korzystamy bezpośrednio z definicji logarytmu.

a) $x=(\frac14)^{-2}=16$. b) $x=4^{3/2}=8$. c) $x^2=(\frac18)^{1/3}=\frac12$, więc $x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$. d) $|x|=(2\sqrt2)^4=(2^{3/2})^4=64$, więc $x=\pm64$.

Stosujemy wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi.

a) $\log_6x=\log_6(4\cdot9)=\log_636$, więc $x=36$. b) $\log_3x=\log_3(18/2)=\log_39$, więc $x=9$. c) $\log x=\log(5^2\cdot4)=\log100$, więc $x=100$. d) $\log x=\log(80/2^3)=\log10$, więc $x=10$.