MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 322

W każdym równaniu argument logarytmu musi być dodatni, a następnie porównujemy go z odpowiednią potęgą podstawy.

a) $x^2-7=3^2=9$, więc $x^2=16$ i $x=\pm4$. b) $x^2-x=(\frac12)^{-1}=2$, czyli $(x-2)(x+1)=0$ i $x=-1$ lub $x=2$. c) $9x-x^2=2^3=8$, więc $(x-1)(x-8)=0$ i $x=1$ lub $x=8$. d) $|x^2-1|=8$. Równanie $x^2-1=8$ daje $x=\pm3$, a przypadek $x^2-1=-8$ nie ma rozwiązań rzeczywistych. Wszystkie otrzymane liczby spełniają warunki dziedziny.

Rozwiązujemy równania od logarytmu zewnętrznego do wewnętrznego.

a) $\log_2x=4^{-1/2}=\frac12$, więc $x=\sqrt2$. b) $\log_{1/2}x=3^1=3$, więc $x=(\frac12)^3=\frac18$. c) Kolejno: $\log_2(\log_4|x|)=1,quad \log_4|x|=2,quad |x|=16,$ stąd $x=\pm16$. d) Kolejno: $\log_{\sqrt2}(\log_3x^2)=2,quad \log_3x^2=2,quad x^2=9,$ stąd $x=\pm3$. Warunki dodatniości wszystkich logarytmowanych wyrażeń są w każdym przypadku spełnione.

Korzystamy z faktu, że $\log_a u=0$ dokładnie wtedy, gdy $u=1$.

a) $\log_5(x^2+1)=1$, zatem $x^2+1=5$ i $x=\pm2$. b) Kolejno $\log_3(\log_3x)=1$, $\log_3x=3$, więc $x=27$. c) Kolejno $\log_3(\log_3(x^2-9))=1$, $\log_3(x^2-9)=3$, zatem $x^2-9=27$ i $x=\pm6$. d) Kolejno $\log(1+\log x)=0$, $1+\log x=1$, więc $\log x=0$ i $x=1$.

Łączymy logarytmy iloczynu lub ilorazu i pilnujemy ich dziedzin.

a) Dla $x>3$: $x(x-3)=4$, skąd $x=4$. b) Dla $x>-\frac12$: $(2x+1)(x+1)=10$, skąd $x=\frac32$. c) Dla $0<x<4$: $(4-x)/x=9$, więc $x=\frac25$. d) Dla $x>0$: $x(x+3)=4$, więc $x=1$. e) Dla $x>2$: $x(x-2)=3$, więc $x=3$. f) Dla $-2<x<10$: $(4x+8)/(10-x)=(\frac12)^{-3}=8$, więc $x=6$. Drugie pierwiastki powstających równań kwadratowych nie należą do dziedzin.

a) Ponieważ $\log_4x=\frac12\log_2x$, mamy $\frac32\log_2x=9$. Stąd $\log_2x=6$ i $x=64$.

b) $\log_{0{,}1}(x+3)=-\log(x+3)$, zatem dla $x>0$ $\log(x(x+3))=1$. Równanie $x(x+3)=10$ daje $x=2$.

c) Dla $x>1$ wyrażenie upraszcza się do $\log_2\frac{x}{x-1}=2$. Stąd $x/(x-1)=4$ i $x=\frac43$.

d) Prawa strona jest równa $\log(x-x^2)$, bo $\frac12\log_{\sqrt{10}}u=\log u$. Dziedzina wymaga $0<x<1$. Porównanie argumentów daje $x^2+\frac12x=x-x^2,$ stąd $x=\frac14$.

Uwzględniamy także warunki na zmienną podstawę logarytmu.

a) Musi być $0<x<1$. Równość oznacza $1-x=x$, więc $x=\frac12$. b) Mamy $x>0$, $x\ne1$ oraz $|x-1|=x^0=1$. Kandydaci to $0$ i $2$, lecz $0$ nie może być podstawą; zostaje $x=2$. c) Dziedzina daje $x>\frac53$ i $x\ne2$. Równość $3x-5=(x-1)^2$ daje $x=2$ lub $x=3$; pierwszy kandydat ma podstawę równą $1$, więc odpada.

Stosujemy wskazane podstawienie; w wyrażeniach z mianownikiem wykluczamy jego zera.

a) Dla $t=\log_3x$: $t(t+3)=0$, więc $x=1,\frac1{27}$. b) Dla $t=\log_2x$: $t^2-4t=0$, więc $x=1,16$. c) Dla $t=\log x\ne0$: $t^2=1$, więc $x=0{,}1,10$. d) Dla $u=\sqrt{\log_2x}\ge0$: $u^2+2u=8$, więc $u=2$ i $x=16$. e) Dla $t=\log_4x\ne0$: $2t^2-t-1=0$, więc $x=4,\frac12$. f) Dla $t=\log_{0{,}5}x$: $t^2-t-2=0$, więc $x=\frac14,2$. g) Dla $t=\log x$: $t^2-2t-8=0$, więc $x=10^4,10^{-2}$. h) Dla $t=\log x\ne\pm1$ równanie upraszcza się do $t(t-2)=0$, więc $x=1,100$. i) Dziedzina: $x>\frac12$ i $x\ne1$. Równość logarytmów daje $x+1=2x-1$, więc $x=2$. j) Dziedzina: $x>-\frac14$ i $x\ne0$. Równanie $4x+1=(x+1)^2$ daje $x=0$ lub $x=2$; pierwszy kandydat odpada.