MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 321

Każdą prawą stronę zapisujemy jako potęgę tej samej podstawy.

a) Ponieważ $3=5^{\log_5 3}$ i podstawa $5$ jest większa od $1$, $x-6<\log_5 3,$ czyli $x<6+\log_5 3$.

b) Mamy $4=0{,}7^{\log_{0{,}7}4}$. Funkcja o podstawie $0{,}7$ jest malejąca, zatem $x+5\le \log_{0{,}7}4,$ czyli $x\le \log_{0{,}7}4-5$.

c) Dla podstawy $\frac12$ zwrot nierówności między wykładnikami odwraca się: $3x-6>\log_{1/2}0{,}1=-\log_{1/2}10.$ Stąd $x>2-\frac13\log_{1/2}10$.

Dzielimy stronami przez dodatnie potęgi.

a) $3\cdot3^x<4\cdot2^x$ daje $(\frac32)^x<\frac43$, więc $x<\log_{3/2}\frac43$.

b) Z $3^x\le5^{x+4}$ otrzymujemy $(\frac35)^x\le625$. Podstawa jest mniejsza od $1$, zatem $x\ge\log_{3/5}625$.

c) Nierówność jest równoważna $(\frac79)^x\ge7$. Ponieważ $\frac79<1$, $x\le\log_{7/9}7$.

d) Po podzieleniu przez $10^{-x}>0$ dostajemy $(0{,}4)^x<25$. Stąd, przy malejącej podstawie, $x>\log_{0{,}4}25$.

a) Dzieląc przez $5^x$ i mnożąc przez $16$, otrzymujemy $(\frac45)^x\ge80$. Zatem $x\le\log_{4/5}80$.

b) Po podzieleniu przez $(\frac13)^x$ mamy $9(\frac32)^x<1$, czyli $x<\log_{3/2}\frac19=-2\log_{3/2}3$.

c) Lewa strona ma postać $2^{x^2-2x-1/2}$, a prawa $2^{-3/2}$. Ponieważ podstawa jest większa od $1$,

\iff (x-1)^2>0.$$ Odpada wyłącznie $x=1$. d) Najpierw wykluczamy $x=-3$. Ponieważ $4>1$, $$4^{2/(x+3)}>1\iff\frac2{x+3}>0,$$ co daje $x>-3$.

W każdym podpunkcie wprowadzamy dodatnią zmienną będącą potęgą.

a) Dla $t=4^x>0$ mamy $t^2-t\le0$, więc $0<t\le1$ i $x\le0$. b) Dla $t=3^x>0$ mamy $t^2-\frac19t>0$, więc $t>\frac19$ i $x>-2$. c) Dla $t=2^x>0$ mamy $(t-2)(t+1)>0$, więc $t>2$ i $x>1$. d) Dla $t=3^x>0$ mamy $(t-1)(t-9)\ge0$, więc $x\le0$ lub $x\ge2$. e) Dla $t=4^{-x}>0$ mamy $(t-4)(t+1)<0$, zatem $t<4$ i $x>-1$. f) Dla $t=2^x>0$ mamy $(t-3)(t+5)\le0$, zatem $t\le3$ i $x\le\log_2 3$.

a) Niech $t=2^x>0$, $t\ne1$. Po odjęciu stron $\frac1{t-1}-\frac1{t+1}=\frac2{t^2-1}<0,$ więc $0<t<1$, czyli $x<0$. Największą liczbą całkowitą jest $-1$.

b) Dla $t=2^x>0$, po pomnożeniu przez $t$, dostajemy $t^2-9t+8<0$, czyli $1<t<8$. Stąd $0<x<3$ i największą liczbą całkowitą jest $2$.

c) Dla $t=2^{-x}>0$ otrzymujemy $t^2-10t+16\le0$, czyli $2\le t\le8$. Zatem $-3\le x\le-1$, a największą liczbą całkowitą jest $-1$.