MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 320

Przenosimy potęgi z niewiadomą na jedną stronę.

a) $(5/6)^x=6$. b) $143^{x-3}=1$, więc $x=3$. c) $(9/7)^x=63$. d) $(9/8)^x=1/4$. e) Po uproszczeniu $15^x=3/2$. f) Po pomnożeniu przez $2^x$ mamy $25\cdot10^x=16$.

Wyłączamy wspólną potęgę przed nawias.

a) $7\cdot3^x=63$, więc $x=2$ (całkowite). b) $4\cdot3^{x-1}=24$, więc $x=\log_318$ (niecałkowite). c) $\frac32(\frac12)^{3x}=12$, więc $x=-1$ (całkowite). d) $6\cdot4^x=6$, więc $x=0$ (całkowite). e) $18\cdot16^x=9/8$, więc $x=-1$ (całkowite).

Wprowadzamy dodatnią zmienną pomocniczą będącą potęgą.

a) Dla $t=2^x$: $(t-4)^2=0$, więc $x=2$. b) Dla $t=5^x$: $t^2+5t-6=0$, dodatni pierwiastek $t=1$, więc $x=0$. c) Dla $t=4^x$: $(2t-1)^2=0$, więc $x=-\frac12$. d) Dla $t=2^x$: $(t-2)(t-4)=0$, więc $x=1,2$. e) Dla $t=2^{-x}$: $(t-1)(t-2)=0$, więc $x=0,-1$. f) Dla $t=7^x$: $(t-7)(t+2)=0$, więc $x=1$.

a) Dla $t=3^x>0$, po uwzględnieniu $t\ne1$, $(t+1/t)/(t-1/t)=2$ daje $t^2=3$, więc $x=\frac12$.

b) Dla $t=2^x$, przy $t\ne1,2$, równanie daje $3(t-2)-2(t-1)=0$, czyli $t=4$ i $x=2$.

c) Dla $t=2^x$ lewa strona to $(1-t^2)/(1-t)=1+t$ dla $t\ne1$. Równość jest tożsamością, a wykluczamy jedynie $t=1$, czyli $x=0$.

a) Ponieważ $(2+\sqrt3)^{-1}=2-\sqrt3$, oba składniki są równe. Równanie daje $(2-\sqrt3)^x=1$, więc $x=0$.

b) Liczby $3-2\sqrt2$ i $3+2\sqrt2$ są odwrotne. Dla $t=(3-2\sqrt2)^x>0$ mamy $t+1/t=2$, co zachodzi tylko dla $t=1$. Stąd $x=0$.

a)--d) Podstawiamy $t=2^x$ lub $t=9^x$ i wybieramy tylko dodatnie pierwiastki:

a) $t(t-2)^2=0$, więc $x=1$. b) $(t-2)(t-1)(t+1)=0$, więc $x=0,1$. c) $t^2(t-1)(t-4)=0$, więc $x=0,2$. d) $(t-1)(t-3)(t+3)=0$ dla $t=9^x$, więc $x=0,\frac12$.

e) Niech $t=3^{\sqrt x}\ge1$. Z $(t-9)(t+1)=0$ mamy $\sqrt x=2$, czyli $x=4$. f) Niech $t=2^{\sqrt x}\ge1$. Równanie $2t^2-9t+4=0$ daje $t=4$ lub $1/2$; drugi pierwiastek odpada. Stąd $x=4$.