MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 316

Zmieniamy podstawę prawego logarytmu na $4$ i porównujemy argumenty.

a) $\log_{64}125=\frac13\log_4125=\log_45$, więc $x=5$. b) $\sqrt2=4^{1/4}$, zatem $\log_{\sqrt2}3=4\log_43=\log_481$. c) $\log_827=\frac23\log_427=\log_49$. d) $2\sqrt2=4^{3/4}$, więc $\log_{2\sqrt2}10^5=\frac43\log_4 10^5=\log_4 10^{20/3}$.

Niech $a=\log_23$.

a) $\log_43=\frac{\log_23}{2}=\frac a2$. b) $\log_{\sqrt2}3=\frac a{1/2}=2a$. c) $\log_3(1/8)=-3/a$, więc odwrotność to $-a/3$. d) $\log_62=1/\log_26=1/(a+1)$. e) Odwrotności są równe $\log_2\sqrt3=a/2$ i $\log_29=2a$; suma to $2{,}5a$. f) Otrzymujemy $a/2+\log_49=a/2+a=1{,}5a$.

a) Z $\log_{\sqrt a}x=t$ wynika $2\log_ax=t$, czyli $\log_ax=t/2$. Stąd $\log_{a^2}x=\frac12\log_ax=t/4$.

b) Z $\log_{a^3}x=t$ mamy $\log_ax=3t$. Zatem $\log_{\sqrt[3]a}x=3\log_ax=9t$.

Każdą równość otrzymujemy ze wzoru na zmianę podstawy i logarytm potęgi:

a) $\frac{\log_ax^2}{\log_aa^2}=\frac{2\log_ax}{2}=\log_ax$. b) $\log_{a^{1/3}}x=3\log_ax=\log_ax^3$. c) $\log_{1/a}x=\log_ax/(-1)=-\log_ax$. d) $\log_{a^n}x^n=n\log_ax/n=\log_ax$. e) $\log_{a^{1/n}}x=n\log_ax=\log_ax^n$. f) $\log_{a^p}x=\frac1p\log_ax=\log_ax^{1/p}$ dla $p\ne0$.

Konieczne jest $a,b,c,d>0$ oraz $a,b,c,d\ne1$, aby wszystkie podstawy i argumenty logarytmów były dopuszczalne. Łańcuch logarytmów daje $\log_ab\cdot\log_bc\cdot\log_cd=\log_ad.$ Ponieważ $\log_da=\frac12$, mamy $\log_ad=2$.

b) Pierwszy i trzeci czynnik po zmianie znaków w liczniku i mianowniku pozostają odpowiednio $\log_ab$ i $\log_cd$, natomiast środkowy jest $-\log_bc$. Iloczyn jest więc przeciwny do wyniku z a).

Niech $t=\log_ab$. Z $a\in(0,1)$ i $b>1$ wynika $t<0$, a $\log_ba=1/t$.

a) $t-t^2<0$, bo $t<0$ i $t^2>0$. b) $(1/t)^2+\log_{1/a}b=1/t^2-t>0$. c) $1/t+t\le-2$ dla $t<0$ (nierówność dla liczby i jej odwrotności). d) $t^2+\log_{\sqrt a}b=t^2+2t=(t+1)^2-1\ge-1$.

Upraszczamy wzory i jednocześnie zachowujemy dziedzinę pierwotnego zapisu.

a) Dla $x>0$: $\frac12\log_2x+\frac12\log_2x=\log_2x$. b) Oba składniki wymagają $x>0$; $4\log_2x-2\log_2x=2\log_2x$. c) Wymagamy $x\ne0$; $\log_4x^2=\log_2|x|$, a $\log_{1/2}x^2=-2\log_2|x|$, więc $f=-\log_2|x|$. d) Wymagamy $x>0$; $\log_8x^3=\log_2x$, natomiast $\log_{\sqrt2}x^4=8\log_2x$, więc $f=-7\log_2x$.

Korzystamy ze zmiany podstawy $\log_ab=\frac{\ln b}{\ln a}$ i zaokrąglamy dopiero końcowy wynik do trzech miejsc.

a) $\log_37\approx1{,}771243$. b) $\log_63\approx0{,}613147$. c) $\log_{0{,}5}9\approx-3{,}169925$.