MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 315

Zmieniamy każdą podstawę na $2$.

a) $\log_{16}3=\frac14\log_23=\log_2\sqrt[4]3$. b) $\log_{1/2}7=-\log_27=\log_2\frac17$. c) $\log_{\sqrt2}11=2\log_211=\log_2121$. d) $\log_{1/8}9=-\frac13\log_29=\log_2 9^{-1/3}$. e) $(\frac12+\frac13)\log_26=\log_2 6^{5/6}$. f) $-(1+\frac12+\frac13)\log_23=\log_2 3^{-11/6}$.

a) $\log_425=\frac12\log_225$, więc lewa strona to $\frac32\log_225=\log_2125$.

b) $\log_{0{,}1}4=-\log4$ oraz $\log_{0{,}01}16=-\frac12\log16=-\log4$. Suma to $-2\log4=-\log16=\log\frac1{16}$.

c) Lewa strona to $\frac32\log_34=\log_38$. Prawa: $\log_{1/3}(1/8)=-\log_3(1/8)=\log_38$.

d) Lewa strona to $-\log_29+\frac12\log_29=-\log_23 =\log_2\frac13$.

Korzystamy ze zmiany podstawy.

a) $\log_{\sqrt a}x=\frac{\log_ax}{\log_a\sqrt a} =2\log_ax=\log_ax^2$.

b) $\log_{a^2}x=\frac{\log_ax}{\log_aa^2} =\frac12\log_ax=\log_a\sqrt x$.

Niech $p=\log_32$. Zmieniamy podstawę każdego logarytmu na $3$.

a) $p/2$; b) $p/(-3)=-p/3$; c) $\log_34/(1/2)=4p$; d) $(p/2)/4=p/8$; e) $\log_318/(-1)=-(2+p)$; f) $\log_36/(1/3)=3(1+p)$; g) $\log_3(1/48)/3=-(1+4p)/3$; h) $\log_3(2^{-1/2})/(3/2)=-p/3$.

Ze wzoru na zmianę podstawy

=\frac1{\log_a b}.$$ Założenia zapewniają istnienie obu logarytmów oraz $\log_ab\ne0$.

Niech $t=\log_ab$. W obu podpunktach $\log_ba=1/t$.

a) Dla $a,b\in(0,1)$ mamy $t>0$, więc $t+\frac1t-2=\frac{(t-1)^2}{t}\ge0.$

b) Dla $a>1$ i $b\in(0,1)$ mamy $t<0$. Niech $s=-t>0$. Wtedy $t+\frac1t=-\left(s+\frac1s\right)\le-2,$ bo $s+1/s\ge2$.