MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 308

Funkcja logarytmiczna jest malejąca, gdy jej podstawa należy do $(0,1)$.

a) $0<m-2<1$, stąd $2<m<3$. b) $0<4m^2<1$, stąd $0<|m|<\frac12$. c) $0<1-m^2<1$, czyli $0<m^2<1$.

Logarytm dziesiętny jest funkcją rosnącą. Zatem $\log x>k$ jest równoważne $x>10^k$. Podstawiamy kolejno $k=2,3,6,100$.

a) Dla $0<a<1$ funkcja logarytmiczna jest malejąca, więc z $p<q$ wynika $\log_a p>\log_a q$.

b) Dla $a>1$ jest rosnąca, więc zachowuje kolejność i $\log_a p<\log_a q$.

Każdą nierówność zamieniamy na przedział wartości logarytmu, a jego końce na potęgi podstawy. Dla podstaw mniejszych od $1$ odwracamy kolejność.

a) $4^1\le x\le4^3$. b) $(\frac13)^4\le x<1$. c) $1\le x<(\frac14)^{-1/2}$. d) $5^{-2}\le x\le5^4$. e) $10^{-6}<x\le10^3$. f) $(\frac23)^3\le x<(\frac23)^{-1}$. g) $|\log_2x|\le5$. h) $|\log_4x|>\frac32$. i) $|\log_{1/3}x|<4$.

Weźmy dowolny punkt $(u,v)$ wykresu funkcji wykładniczej. Zachodzi $v=a^u.$ Z definicji logarytmu jest to równoważne równości $u=\log_a v,$ czyli punkt $(v,u)$ należy do wykresu funkcji logarytmicznej. Przejście z $(u,v)$ do $(v,u)$ zamienia współrzędne, a geometrycznie jest odbiciem względem prostej $y=x$. Rozumowanie działa też w drugą stronę.

Z definicji logarytmu naturalnego: $e^1=e$, $e^0=1$, $e^4=e^4$ oraz $\frac1e=e^{-1}$.