MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 307

Punkt $(x,y)$ leży na wykresie, gdy $\log_a x=y$, czyli $a^y=x$.

a) $a^3=27$, więc $a=3$. b) $a^4=625$, więc $a=5$. c) $a^{-5}=32$, więc $a=\frac12$. d) $a^4=4$, więc $a=\sqrt2$.

Funkcja $\log_2x$ jest rosnąca, więc obrazy końców przedziałów zachowują kolejność.

a) Gdy $0<x<1$, mamy $f(x)<0$, bez dolnego ograniczenia. b) $\log_2 2=1$, a wartości rosną bez ograniczenia. c) $\log_2\frac12=-1$, $\log_2 8=3$. d) $\log_2\frac{\sqrt2}{2}=-\frac12$, $\log_2 1024=10$.

Obliczamy wartości na końcach dziedziny; dla podstaw mniejszych od $1$ funkcja jest malejąca, więc kolejność wartości się odwraca.

a) $\log_3\frac13=-1$, $\log_3 1=0$. b) $\log_{1/3}\frac19=2$, $\log_{1/3}27=-3$. c) $\log_{1/4}\frac12=\frac12$, $\log_{1/4}8=-\frac32$. d) $\log_8\frac12=-\frac13$, $\log_8\sqrt2=\frac16$.

Funkcja $\log_{1/4}x$ jest malejąca. Po porównaniu z potęgami podstawy i uwzględnieniu $x>0$ otrzymujemy:

a) $x\ge(\frac14)^1=\frac14$; b) $x\le(\frac14)^8=\frac1{4^8}$; c) $x\le(\frac14)^{-1}=4$; d) $x>(\frac14)^{-1/2}=2$.

Funkcja $\log_4x$ jest rosnąca, a jej dziedziną jest $(0,\infty)$. Porównujemy argument z $4^1=4$ albo $4^{3/2}=8$:

a) $x\ge4$; b) $0<x<4$; c) $x>8$; d) $0<x\le8$.

Funkcja logarytmiczna jest rosnąca dokładnie wtedy, gdy jej podstawa jest większa od $1$.

a) $2m>1$, więc $m>\frac12$. b) $1-m>1$, więc $m<0$. c) $m^2>1$, więc $m<-1$ lub $m>1$.

Dla podstawy $3$ zachowujemy kierunek nierówności, a dla podstawy $\frac13$ go odwracamy; zawsze uwzględniamy $x>0$.

a) $x>3$; b) $0<x\le3$; c) $x\ge3^{-2}=\frac19$; d) $x>9$; e) $0<x\le(\frac13)^{-1}=3$; f) $x>\frac13$; g) $x>\frac19$; h) $0<x\le\frac19$.

W podpunktach a--d przekształcamy oba krańce przedziału wartości logarytmu, pamiętając o odwróceniu kolejności dla podstawy $\frac12$. W e--h zapisujemy nierówność z kwadratem jako nierówność z wartością bezwzględną.

a) $2^{-2}\le x\le2^1$. b) $2^{-3}<x<2^{-1}$. c) $(\frac12)^2\le x<(\frac12)^{-1}$. d) $(\frac12)^1<x\le(\frac12)^{-2}$. e) $-1\le\log_4x\le1$. f) $\log_4x<-\frac12$ lub $\log_4x>\frac12$. g) $|\log_{1/2}x|\le2$. h) $|\log_2x|>3$.