MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 304

Łączymy logarytmy tej samej podstawy.

a) $\log_{12}(2\cdot8\cdot9)=\log_{12}144=2$. b) $\log_3(\frac1{12}\cdot\frac{14}{15}\cdot\frac{10}{21}) =\log_3\frac1{27}=-3$. c) $\log(0{,}12/0{,}3\cdot25)=\log10=1$. d) $\log_{0{,}2}(0{,}3/(0{,}5\cdot15)) =\log_{1/5}\frac1{25}=2$.

Oznaczmy skrótowo $L(t)=\log t$. Korzystając z dodatniości $x,y,z$ oraz praw logarytmów, obie strony kolejnych równości sprowadzają się do:

a) $2L(x)+2L(y)$; b) $-2L(y)$; c) $L(x)+L(y)+L(z)$; d) $L(x)+2L(z)$; e) $-2L(y)-3L(z)$. W każdym podpunkcie lewa i prawa strona mają więc identyczną postać.

Stosujemy wzory na logarytm potęgi, iloczynu i ilorazu, pilnując dodatniości każdego pierwotnego argumentu.

a) $x>0$: $\log x^3+\log x^2=\log x^5$. b) $x>0$: $\log x^{1/2}-\log x^{3/2}=\log(1/x)$. c) $x\ne0$: $\frac12\log x^4+\log10=\log(10x^2)$. d) $x>0$: $\log_{1/2}(1/2)-\log_{1/2}x^2=\log_{1/2}\frac1{2x^2}$. e) $x,y>0$: $\log_3(3x^2y)$. f) $x,y>0$: $\log_5(2x)-\log_5(y^2x)+\log_5\sqrt5 =\log_5\frac{2\sqrt5}{y^2}$. g) $x,y>0$: $\log_2\frac{\sqrt x}{4y}$. h) $x\ne0$: trzy pierwsze składniki są równe $\log(2x^2)$, więc wynik to $\log((2x^2)^3/1000)=\log(x^6/125)$.

a) W nawiasie mamy $2\cdot\frac16+\frac53-1=1$, więc wynik to $1$. b) W nawiasie: $-3+\log_3(4{,}5/1{,}5)=-2$, a wykładnik $\log_{\sqrt2}4=4$, więc wynik to $(-2)^4=16$. c) Wykładnik jest równy $\log_6 3+\log_6 4=\log_6 12$, więc wynik to $12$. d) Wykładnik to $\frac13+\frac12\cdot\frac13=\frac12$, więc $9^{1/2}=3$.

Podstawiamy $\log_3x=-\frac14$.

a) $2+8(-\frac14)=0$. b) $4(-\frac14)-4=-5$. c) $\frac14(1+6(-\frac14))=-\frac18$. d) $3+\frac13(-\frac14)-(-\frac14)=3\frac16$.

Niech $p=\log2$. Rozkładamy argumenty na iloczyny potęg $2$ i $10$:

a) $\log(2\cdot100)=p+2$. b) $\log(2/100)=p-2$. c) $\log(4/100)=2p-2$. d) $\log(16\cdot100)=4p+2$.

Rozkładamy każdą liczbę na potęgi $2$ i $5$, a następnie używamy $p=\log_3 2$ i $q=\log_3 5$. Na przykład $\log_3(3\frac18)=\log_3(25/8)=2q-3p$.

Z $\log4\approx0{,}6$ mamy $\log2\approx0{,}3$. Następnie stosujemy prawa logarytmów:

a) $\log(16\cdot5)\approx2\cdot0{,}6+0{,}7=1{,}9$. b) $\log(10\cdot5)\approx1{,}7$. c) $\log5-\log4\approx0{,}1$. d) $-\log2\approx-0{,}3$. e) $\log5-\log2\approx0{,}4$. f) $\log(4^3/100)\approx-0{,}2$. g) $\log5+\frac12\log2\approx0{,}85$. h) $2\log5+\frac13\log4\approx1{,}6$.