MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 301

Z definicji logarytmu odczytujemy wykładnik potęgi odpowiedniej podstawy. Przykładowo $64=2^6$, $4=2^2$, więc $\log_4\frac1{1024}=\log_{2^2}2^{-10}=-5$. Analogicznie zapisujemy wszystkie liczby jako potęgi $2$, $3$ lub $5$.

Podstawy mniejsze od $1$ zapisujemy jako ujemne potęgi liczb większych od $1$. Na przykład $\log_{1/3}3=x$ oznacza $3^{-x}=3$, więc $x=-1$, a $\log_{1/6}(1/216)=x$ oznacza $6^{-x}=6^{-3}$, więc $x=3$.

Korzystamy z $a^{\log_a b}=b$ oraz z praw działań na potęgach.

a) $2^{\log_2 9}=9$; b) $(\frac13)^{\log_{1/3}5}=5$; c) $(\frac12)^{\log_2 9}=2^{-\log_2 9}=\frac19$; d) $(\frac14)^{\log_4(1/3)}=(\frac13)^{-1}=3$; e) $4^{\log_2 9}=9^2=81$; f) $81^{\log_3(1/2)}=(\frac12)^4=\frac1{16}$; g) $(\sqrt2)^{\log_2 9}=\sqrt9=3$; h) $(\sqrt3)^{\log_3 16}=\sqrt{16}=4$.

Ponieważ są to logarytmy dziesiętne, zapisujemy argumenty jako potęgi liczby $10$: $1000=10^3$, $0{,}1=10^{-1}$, $10^6=10^6$, $0{,}0001=10^{-4}$, $\sqrt{10}=10^{1/2}$ i $10\sqrt{10}=10^{3/2}$.

a) $2+\log_4 2^{-3}=2-\frac32=\frac12$. b) $7-\log_{1/2}8=7-(-3)=10$. c) $\log_6 6^{-2}+\log 10^{1/3}=-2+\frac13=-\frac53$. d) $\log_9 3^{1/2}-\log_3 3^{1/4}=\frac14-\frac14=0$. e) $\log_{3/2}(\frac32)^2-\log_\pi1=2$. f) $\log_{2/3}(\frac32)-\log_{3/2}(\frac23)^3=-1-(-3)=2$.

Z równości $\log_a b=c$ wynika $a^c=b$, przy czym $a>0$ i $a\ne1$.

a) $a^2=25$, więc $a=5$. b) $a^3=\frac18$, więc $a=\frac12$. c) $a^{-1}=\frac14$, więc $a=4$. d) $a^{-3}=64$, więc $a=\frac14$.

Stosujemy równoważność $\log_a b=c\iff b=a^c$. Otrzymujemy kolejno $2^5$, $(\frac12)^{-1}$, $27^{2/3}$, $7^0$, $(\frac1{16})^{-3/4}$, $(\sqrt2)^{-6}$, $10^6$ oraz $10^{-1}$.

Obliczamy logarytmy od środka.

a) $\log100=2$, więc $\log_2 2=1$. b) $\log_2 1024=10$, więc $\log_{0{,}1}10=-1$. c) $\log_2 8=3$, więc $\log_{1/9}3=-\frac12$. d) $\log_{1/2}(1/16)=4$, więc $\log_{\sqrt2}4=4$. e) Kolejno: $2$, $\frac13$, $-\frac12$. f) Kolejno: $\frac12$, $\frac12$, $-\frac13$.

a)--c), e) Warunki $a>0$ i $a\ne1$ zapewniają poprawną podstawę i dodatniość wszystkich argumentów. Stąd wartości są wykładnikami: $3$, $-\frac12$, $-\frac52$ i $8$.

d) Podstawa $a^2$ musi być dodatnia i różna od $1$, a argument $a^{10}$ dodatni. Otrzymujemy $a\ne-1,0,1$ oraz $(a^2)^5=a^{10}$, więc wartość wynosi $5$.