MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 300

W każdym podpunkcie prowadzimy dowód nie wprost. Gdyby dany logarytm był wymierny, można byłoby zapisać go jako $\frac mn$, gdzie $m,n$ są dodatnimi liczbami naturalnymi.

a) Z $\log_2 5=\frac mn$ wynikałoby $2^m=5^n$, co przeczy jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze. b) Z $\log_3 5=\frac mn$ wynikałoby $3^m=5^n$, również niemożliwe. c) Z $\log_2 6=\frac mn$ mielibyśmy $2^m=6^n=2^n3^n$; prawa strona jest podzielna przez $3$, a lewa nie. d) Z $\log_6 2=\frac mn$ mielibyśmy $6^m=2^n$, lecz lewa strona jest podzielna przez $3$, a prawa nie. Każde założenie o wymierności prowadzi do sprzeczności.

Stosujemy bezpośrednio własności $\log_a a^t=t$ oraz $a^{\log_a b}=b$.

a) $100$; b) $15$; c) $10$; d) $-3$; e) $3$; f) $7$; g) $10$; h) $1$.

Odczytujemy właściwy wiersz i kolumnę tabeli:

a) wiersz $1{,}5$, kolumna $+0{,}00$: $0{,}1761$; b) wiersz $1{,}1$, kolumna $+0{,}01$: $0{,}0453$; c) wiersz $1{,}6$, kolumna $+0{,}02$: $0{,}2095$; d) wiersz $1{,}6$, kolumna $+0{,}08$: $0{,}2253$.