MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 298

Po sprowadzeniu stron do wspólnej podstawy otrzymujemy kolejno:

a) $2^{-x}=2^{3/2}$, więc $x=-\frac32$. b) $(\frac34)^x=(\frac34)^{1-x}$, więc $x=\frac12$. c) $3^{x-6}=3^{4x+4}$, więc $x=-\frac{10}{3}$. d) Obie strony są równe $(\frac34)^{3x+3}$, zatem $x\in\mathbb R$. e) $2^{1+x/2}=2^{-2x}$, więc $x=-\frac25$. f) $(\frac25)^x=(\frac25)^{6-x}$, więc $x=3$. g) $5^{x-1/2}=5^{3x}$, więc $x=-\frac14$. h) $3^{3-2x}=3^{4x}$, więc $x=\frac12$. i) Lewa strona upraszcza się do $\frac53$, niezależnie od $x$, a prawa jest równa $(\frac53)^3$. Równość nie zachodzi.

a) $|x|=5$, więc $x=\pm5$. b) $1-|x|=-4$, więc $|x|=5$ i $x=\pm5$. c) $|x|-7=2-2|x|$, czyli $|x|=3$ i $x=\pm3$. d) $2^{|x|}(1+8)=72$, więc $2^{|x|}=8$, $|x|=3$ i $x=\pm3$. e) $2^x-5=3$ lub $2^x-5=-3$, zatem $x=3$ lub $x=1$. f) Równanie $2-3^x=7$ nie ma rozwiązania, natomiast $2-3^x=-7$ daje $3^x=9$, czyli $x=2$.

a) $5^{x-2}<5^4$, więc $x<6$. b) $(\frac23)^{x+2}\le(\frac23)^4$. Podstawa jest mniejsza od $1$, zatem $x+2\ge4$ i $x\ge2$. c) $2^{4x-2}\ge2^{13/2}$, więc $4x-2\ge\frac{13}{2}$ i $x\ge\frac{17}{8}$.

Każda podstawa należy do przedziału $(0,1)$, dlatego po zapisaniu obu stron jako potęg tej samej podstawy odwracamy kierunek nierówności.

a) $(\frac23)^x\le(\frac23)^3$, więc $x\ge3$. b) $(\frac34)^x>(\frac34)^{-2}$, więc $x<-2$. c) $(\frac14)^{2x+1}\ge(\frac14)^3$, więc $x\le1$. d) $(\frac15)^{x^2}>(\frac15)^4$, więc $x^2<4$. e) $(\sqrt2-1)^{x^2+x}<(\sqrt2-1)^0$, więc $x^2+x>0$. f) $0<\frac{3{,}14}{\pi}<1$. Nierówność $(\frac{3{,}14}{\pi})^{x^2}\le(\frac{3{,}14}{\pi})^0$ jest równoważna $x^2\ge0$, a więc jest prawdziwa dla każdego $x$.

a) Zapisujemy $3^{-3}<3^{2-x}<3^3$. Stąd $-3<2-x<3$, czyli $-1<x<5$.

b) $1<2^{x^2}\le2^x$ jest równoważne $0<x^2\le x$. Warunek $x^2\le x$ daje $x\in[0,1]$, lecz $x=0$ wyklucza pierwsza nierówność. Zatem $x\in(0,1]$.

c) $2^{-3}<2^{-2x-3}\le2^0$. Porównanie wykładników daje $-3<-2x-3\le0$, czyli $-\frac32\le x<0$.

a) $(\frac12)^x(\frac14)^x=2^{-3x}\le2^6$, więc $x\ge-2$.

b) $16^x\cdot0{,}25^{2x}=2^{4x}\cdot2^{-4x}=1$. Ponieważ $1\ge\frac34$, nierówność zachodzi dla każdego $x$.

c) $3^{-x}6^x2^{-x}=(\frac6{3\cdot2})^x=1$. Otrzymana nierówność $1<1$ jest fałszywa.

Lewa granica upraszcza się do $3^{\sqrt2-1+\sqrt2+1-\sqrt8}=3^0=1,$ a prawa do $6^\pi3^{1-\pi}2^{1-\pi}=2\cdot3=6.$ Otrzymujemy $1\le6^{-(x^2-x)}\le6$, czyli $-1\le x^2-x\le0.$ Pierwsza nierówność zachodzi dla każdego $x$, bo $x^2-x+1>0$. Druga daje $x(x-1)\le0$.

Dla zbioru $A$: $2^{|x|}\le2^4\iff |x|\le4,$ $3^{|y-1|}\le3^2\iff |y-1|\le2.$ Zatem $A=[-4,4]\times[-1,3]$.

Dla zbioru $B$ mamy $2^{|x|+|y|}\le2^3\iff |x|+|y|\le3,$ czyli domknięty romb o wierzchołkach $(\pm3,0)$ i $(0,\pm3)$. Ponieważ romb mieści się między $x=-3$ i $x=3$ oraz nie przekracza $y=3$, w przecięciu z prostokątem pozostaje dodatkowo warunek $y\ge-1$: $A\cap B=\{(x,y):|x|+|y|\le3,\ y\ge-1\}.$ Jego wierzchołki to $(-3,0),(0,3),(3,0),(2,-1),(-2,-1)$.

Różnica jest dolną częścią rombu bez poziomego odcinka $y=-1$: $B\setminus A=\{(x,y):|x|+|y|\le3,\ y<-1\}.$

a) Warunki są równoważne $1\le y\le4$ oraz $y\ge x^2$. Dla $y=1,2,3$ możliwe są po trzy całkowite wartości $x$: $-1,0,1$. Dla $y=4$ możliwe są $x=-2,-1,0,1,2$. Łącznie jest $3+3+3+5=14$ punktów.

b) Z $2\le2^{|x|}\le4$ mamy $1\le|x|\le2$, więc $x\in\{-2,-1,1,2\}$. Z $2^{|y|}\le8$ mamy $|y|\le3$, zatem $y\in\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$. Jest $4\cdot7=28$ punktów kratowych.