MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 295

W każdym wzorze moduł argumentu daje oś symetrii. Wyznaczamy wartość w punkcie osi, granicę dla $|x|\to\infty$ i kierunek zmian po obu jej stronach. Dziedziną wszystkich funkcji jest $\mathbb R$.

Dla równania $2^x=\frac73x+1$ ze szkicu otrzymujemy przecięcia $x=0$ i $x=3$. W równaniu z $|x|$ dla $x\ge0$ mamy to samo równanie. Dla $x<0$ lewa strona $2^{-x}>1$, natomiast prawa $\frac73x+1<1$, więc nowych rozwiązań nie ma.

Szkicujemy obie strony każdego równania i sprawdzamy odcięte przecięć przez podstawienie. Monotoniczność lub wypukłość wyklucza dalsze przecięcia; w f) różnica stron jest ściśle wklęsła, więc dwa znalezione zera są jedyne.

Porównujemy wykresy i algebraicznie sprawdzamy ich przecięcia. W b) podstawiamy $t=2^x>0$; równanie $-t^2=t/2-5$ daje $t=2$, czyli $x=1$. W d) różnica jest dodatnia dla każdego $x$, więc wykresy się nie przecinają.

a) Analizujemy przecięcia wykresu $f(x)=|(1/2)^x-1|$ z poziomą prostą $y=m$. Minimum wynosi $0$, a asymptota po prawej ma poziom $1$, co daje wskazane liczby przecięć.

b) Iloraz $|f(x)-1|/(f(x)-1)$ jest znakiem mianownika. Równość $f(x)=1$ zachodzi tylko dla $x=-1$, gdzie funkcja $g$ nie jest określona. Dla $x<-1$ mianownik jest dodatni, a dla $x>-1$ ujemny.

Iloraz $|u|/u$ ma wartość $1$ dla $u>0$, $-1$ dla $u<0$ i nie jest określony dla $u=0$. a) Dla $u=2^x-4$ zero występuje przy $x=2$. b) Dla wyrażenia z $|x|$ zera występują przy $x=-2$ i $x=2$; znak jest dodatni na zewnątrz tego przedziału.

Mamy $f(x)=a(2^x-1)$ i $g(x)=-a(2^x-1)$. Z równości $f=g$ wynika $2a(2^x-1)=0$. Ponieważ $a\ne0$, musi być $2^x=1$, czyli $x=0$. Wtedy obie wartości są równe $0$.

Szukamy punktów kratowych, korzystając z ograniczeń wartości potęgi.

a) Warunek $3^{|x|}\le y<3$ może dla całkowitych $x,y$ zachodzić tylko przy $x=0$; wtedy $1\le y<3$, więc $y=1$ lub $2$. b) Z $1<y\le1+2^{-|x|}\le2$ wynika $y=2$. Równość prawego ograniczenia z $2$ wymaga $x=0$.