MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 290

Podstawiamy kolejno $x=-4,-3,-1/2,1/2,3,4$ i korzystamy z $a^{-x}=1/a^x$. Dla wykładników połówkowych obliczamy pierwiastek z podstawy.

Z punktu $P(2,16)$ mamy $a^2=16$. Podstawa funkcji wykładniczej jest dodatnia, więc $a=4$. Sprawdzamy każdą rzędną jako potęgę $4^x$: $4^{1/2}=2$, $4^5=1024$, $4^{-3}=1/64$ i $4^{-1/4}=\sqrt2/2$.

Z $a^2=2$ otrzymujemy $a=\sqrt2$, a więc $f(x)=2^{x/2}$. Stąd $f(1)=\sqrt2$, $f(4)=4$, $f(8)=16$ oraz $f(-8)=1/16$.

Z podanego punktu $M(x,y)$ rozwiązujemy równanie $a^x=y$. Otrzymujemy kolejno $a=1/3,1/2,4,3/2$. Pierwsze dwa wykresy są malejące, dwa ostatnie rosnące; wszystkie przechodzą przez $(0,1)$ i mają asymptotę $y=0$.

Dla podstaw większych od $1$ kolejność potęg jest taka jak kolejność wykładników, a dla podstawy $0{,}6$ lub $1/3$ — odwrotna. Porównujemy więc odpowiednio liczby $0{,}3<0{,}33<1/3<1/2$, $\sqrt5<3{,}1<\pi<3{,}2$, $1/3<0{,}35<3/8<3/7<1/2$ oraz $\sqrt2<1{,}5<\pi/2<\sqrt3<2$.

Funkcja $a^x$ jest malejąca dla $0<a<1$ i rosnąca dla $a>1$. Mamy $0<\sqrt2/2<1$, $0<\sqrt3-1<1$ oraz $\sqrt5-1>1$.

Porównujemy wykładniki. Dla podstawy $3/4<1$ odwracamy kolejność. Korzystamy z oszacowań $7/5<\sqrt2<3/2<\sqrt3$, $2\sqrt6<5<\sqrt{26}<6$, $1/\pi<1/3<3/7<1/2$ oraz $-2<-\sqrt\pi<-\sqrt3<0$.