MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 29

Stosujemy kryterium z sumy i iloczynu pierwiastków, po sprawdzeniu $\Delta\ge0$. Kolejno:

a) $P<0$ — znaki różne; b) $P>0,S<0$ — oba ujemne; c) $P>0,S>0$ — oba dodatnie; d) $\Delta<0$ — brak pierwiastków; e) $P>0,S>0$ — oba dodatnie; f) $P<0$ — znaki różne.

Ponieważ $c\ne0$, ze wzoru Viète’a $x_1x_2=\frac ca\ne0$, więc obie odwrotności istnieją. Następnie

$$\frac1{x_1}+\frac1{x_2} =\frac{x_1+x_2}{x_1x_2} =\frac{-b/a}{c/a}=-\frac bc.$$

Korzystamy z udowodnionego wzoru $\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=-\frac bc$. Wyrazy wolne są niezerowe, a wyróżniki dodatnie, więc odwrotności obu pierwiastków istnieją.

a) $-\frac{-1}{-1}=-1$; b) $-\frac{-8}{-3}=-\frac83$; c) $-\frac{20}{-6}=\frac{10}{3}$.

Używamy tożsamości $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=S^2-2P$.

a) $S=1,P=-1$, więc wynik to $1+2=3$. b) $S=-3,P=-\frac32$, więc $9+3=12$. c) $\Delta=16-24<0$, więc równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Liczymy $S=-\frac ba$, $P=\frac ca$ i stosujemy $x_1^2+x_2^2=S^2-2P$.

a) $S=-9,P=6$: $81-12=69$. b) $S=3,P=-\frac32$: $9+3=12$. c) $S=-2\sqrt2,P=-2$: $8+4=12$.

Z tożsamości $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=S^2-4P$ otrzymujemy:

a) $S=\frac13,P=-\frac13$, zatem $\frac19+\frac43=\frac{13}{9}$. b) $S=\frac52,P=-2$, zatem $\frac{25}{4}+8=\frac{57}{4}$. c) $S=-\frac12,P=-4$, zatem $\frac14+16=\frac{65}{4}$.

Ponieważ $c\ne0$, mamy $x_1x_2\ne0$. Korzystamy ze wskazówki i wzorów Viète’a:

$$\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2} =\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2} =\frac{b^2/a^2-2c/a}{c^2/a^2} =\frac{b^2}{c^2}-2\frac ac.$$

Stosujemy wzór $\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}=\frac{b^2}{c^2}-2\frac ac$.

a) $1+\frac15=\frac65$. b) $\frac14+\frac14=\frac12$. c) $\frac9{49}+\frac27=\frac{23}{49}$.

Dla zadanej sumy $S$ i iloczynu $P$ kandydatem jest równanie $x^2-Sx+P=0$. Musi ono mieć rzeczywiste pierwiastki.

a) $x^2-7x+3=0$ ma $\Delta=37>0$, więc jest możliwe. b) $x^2-3x+7=0$ ma $\Delta=-19<0$, więc dwie liczby rzeczywiste o takich sumie i iloczynie nie istnieją.

Jeśli nowe pierwiastki są dwa razy większe, to ich suma jest równa $2S$, a iloczyn $4P$. Budujemy równanie $y^2-2Sy+4P=0$.

a) $S=5,P=1$, więc $y^2-10y+4=0$. b) Po zmianie znaków równania $S=6,P=2$, więc $y^2-12y+8=0$. c) $S=3,P=\frac12$, więc $y^2-6y+2=0$.