MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 282

W czworokącie opisanym na okręgu sumy długości przeciwległych boków są równe. Zatem półobwód wynosi $AD+BC=4+5=9$. Promień jest równy połowie średnicy, czyli $1{,}5$. Stąd $P=rs=13{,}5$.

Z twierdzenia sinusów $AC=800\frac{\sin23^\circ}{\sin93^\circ}\approx313{,}014.$

Po przebyciu $200$ km samolot i oba miasta tworzą trójkąt o boku $300$ km i kącie $20^\circ$ przy Poznaniu. Z twierdzenia cosinusów odległość do Warszawy wynosi

W trapezie równoramiennym opisanym na okręgu suma podstaw jest równa sumie ramion, czyli $26$. Z ramienia $13$ i wysokości $12$ powstaje trójkąt $5$-$12$-$13$. Okrąg jest styczny do obu podstaw, więc jego średnica jest równa wysokości: $r=6$.

Promienie $OA,OB$ są prostopadłe do stycznych, a $PA=PB=12$. Czworokąt $PAOB$ dzielimy na dwa przystające trójkąty prostokątne; jego pole wynosi $12$. Obwód jest równy $14$, więc półobwód $7$. Promień okręgu wpisanego w ten czworokąt wynosi $P/s=12/7$.

Z twierdzenia Apoloniusza dla mediany do boku długości $6$: $m^2=\frac{2a^2+2b^2-6^2}{4}=\frac{46}{4}.$

Z twierdzenia o dwusiecznej $15/AD=12/DB$ oraz $AD+DB=18$, więc $AD=10$, $DB=8$. Twierdzenie cosinusów w $ABC$ daje $\cos\angle A=3/4$, stąd $\sin\angle A=\sqrt7/4$. W trójkącie $ACD$ otrzymujemy $CD=10$. Jego promień opisany spełnia $2R=\frac{CD}{\sin\angle A}=\frac{40}{\sqrt7},$ czyli $R=20\sqrt7/7$.