MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 284

Korzystamy z definicji potęgi całkowitej, a przy wykładniku ujemnym odwracamy podstawę. Liczby mieszane zapisujemy jako ułamki niewłaściwe. Otrzymujemy kolejno

Sprowadzamy każdą liczbę do podstawy $2$ i dodajemy, odejmujemy lub mnożymy wykładniki. Otrzymane wykładniki to kolejno $10,\ 2,\ 7,\ 13,\ -16,\ 22,\ -3,\ 6,\ 0,\ 6.$

Rozpisujemy liczby złożone na potęgi wspólnej podstawy.

a) $3^4(3^4\cdot3^{-12})^{-1}=3^{12}$. b) $5^9\cdot5^7=5^{16}$. c) $10^{-2}\cdot2^4\cdot5^4=10^2$. d) $6^4\cdot6^{-10}=6^{-6}$. e) $2^{-10}:2^{21}=2^{-31}$. f) Potęgi podstawy $3/2$ mają wykładniki $3,-9,6$, których suma jest równa zero, więc wynik to $1$.

Zamieniamy wykładnik ułamkowy na odpowiedni pierwiastek, a przy wykładniku ujemnym odwracamy podstawę. Po obliczeniu otrzymujemy

Łączymy potęgi tej samej podstawy przez dodanie wykładników. Kolejno dostajemy wykładniki $5/6,13/4,1/6,-5/3,10/3,-3$.

a) $x=(2/\sqrt3)^4=16/9$, natomiast $y=2^{1/2+1/3+1/6}=2$, więc $y>x$.

b) $x=((2/3)^3)^{-2/3}=9/4=2{,}25$, a $y=(\sqrt[3]{1{,}6})^6=1{,}6^2=2{,}56$, więc również $y>x$.

Pierwiastki kwadratowe wymagają nieujemnego argumentu, a mianowniki nie mogą być zerem. We wszystkich trzech podpunktach daje to $x>0$. Po zapisaniu pierwiastków jako potęg:

a) $2x^{1/2+1/2-1/3}=2x^{2/3}$; b) $x^{4/3+1/2-1/3}=x^{3/2}$; c) $x^2x^{1/2}/x^{3/2}=x$.