MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 281

Pole wycinka jest proporcjonalne do kwadratu promienia i do kąta środkowego. Zwiększenie promienia z $r$ do $2r$ mnoży pole przez $4$, a zwiększenie kąta z $\alpha$ do $2\alpha$ — jeszcze przez $2$. Łączny mnożnik wynosi więc $8$.

Dla kwadratu o boku $s=\sqrt2+1$ promienie okręgów opisanego i wpisanego wynoszą odpowiednio $s/\sqrt2$ i $s/2$. Różnica pól to

Cięciwa długości równej promieniowi wyznacza łuk $60^\circ$. Kąt utworzony przez przecinające się cięciwy ma miarę połowy sumy odpowiednich łuków, więc z $70^\circ=(60^\circ+\widehat{CD})/2$ otrzymujemy $\widehat{CD}=80^\circ$. Kąt wpisany $\alpha$ oparty na tym łuku ma $40^\circ$.

Z zależności między styczną, cięciwą i kątem wpisanym wyznaczamy promień okręgu równy $4$. Jego długość wynosi zatem $2\pi r=8\pi$.

Trójkąt prostokątny wyznaczony przez środki okręgów i punkt styczności ma boki w proporcji $5:12:13$, stąd $\sin\angle O_1PA=5/13$. Z podobieństwa trójkątów i odległości środków otrzymujemy promień mniejszego okręgu $20/9$.

Dla trójkąta prostokątnego równoramiennego wyznaczamy promień okręgu wpisanego jako $r=4(\sqrt2-1)$. Pole okręgu jest zatem $\pi r^2=16\pi(3-2\sqrt2).$

Przekątna rombu dzieli jego kąty na połowy. Z danych i zależności kątowych powstaje trójkąt o kątach $22{,}5^\circ,67{,}5^\circ,90^\circ$, więc kąty rombu mają $45^\circ$ i $135^\circ$.

W trójkącie $ABC$ kąty mają $60^\circ,45^\circ,75^\circ$. Ponieważ $\angle DCB=30^\circ$, w trójkącie $ADC$ kąty wynoszą $60^\circ,45^\circ,75^\circ$. Z twierdzenia sinusów kolejno otrzymujemy $DC=\sqrt6+\sqrt2$, $AD=2+2\sqrt3/3$ i $AC=2+4\sqrt3/3$. Suma boków trójkąta $ADC$ upraszcza się do $4+\sqrt2+2\sqrt3+\sqrt6$.