MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 280

Sześciokąt dzielimy na sześć trójkątów równobocznych o boku $a\sqrt2$. Ich łączne pole to $3\sqrt3a^2$.

Pole wycinka wynosi $(54^\circ/360^\circ)\pi\cdot4^2=2{,}4\pi$.

Z $6\alpha=180^\circ$ mamy $\alpha=30^\circ$. Pole trójkąta to $\sqrt3$, półobwód $2+\sqrt3$, więc $r=\sqrt3/(2+\sqrt3)=2\sqrt3-3$.

Z twierdzenia cosinusów dla największego kąta otrzymujemy $\cos=-1/39$.

Ze wzoru $R=abc/(4P)$ otrzymujemy $R=4\sqrt3/3$.

Z zależności łuków i kątów wpisanych wynika $\gamma=160^\circ$.

Warunek styczności daje czwarty bok $1+2\sqrt2=7/(2\sqrt2-1)$.

Po wyznaczeniu obu długości różnica ma wartość $8+2\sqrt2$.